Даны 4 вектора a-2 2 8 b5 -7 -5 c4 -5

Введем обозначения: пусть a ax; ay; az; bbx; by; bz; c cx; cy; cz; ddx; dy; dz.
1) Найдем координаты вектора d в базисе a, b, c:
Векторы a; b; c и d связаны уравнением d=αa+βb+γc. Составим систему уравнений из координат векторов для этого уравнения и найдем α, β, γ.
-2α+5β+4γ=-32α-7β-5γ=68α-5β-9γ=4 Соответствующая матрица: -2542-7-58-5-9 -364.
Найдем определитель основной матрицы:
∆=-2542-7-58-5-9=-2∙-7∙-9+5∙-5∙8+4∙2∙-5-4∙-7∙8-
--2∙-5∙-5-5∙2∙-9=-126-200-40+224+50+90=-2.
Определитель основной матрицы отличен от нуля, значит векторы a; b; c действительно образуют базис.
Решим расширенную матрицу системы методом Гаусса.
-2542-7-58-5-9 -364~-2540-2-10157 -33-8~
1-ю строку сложили со второй, результат записали во 2-ю строку . 1-ю строку умножили на 4, сложили с третьей строкой, результат записали в третью строку. Умножим 2-ю строку на 15, 3-ю строку умножим на 2, сложим 2-ю и третью строки, результат запишем в 3-ю строку.
~-2540-2-100-1 -3329~-2540-2-1001 -33-29
Разделили 3-ю строку на ( - 1 ).
Вернемся к системе уравнений:
-2α+5β+4γ=-3-2β-γ=3γ=-29
Из второго уравнения выразим и найдем β:
β=3+γ:-2=3-29:-2=-26:-2=13.
Из первого уравнения выразим и найдем α:
α=-3-4γ-5β:-2=-3-4∙(-29)-5∙13:-2=-3+116-65:-2=
=48:-2=-24.
Получаем: d=-24α+13β-29γ. Следовательно, координаты вектора d в базисе из векторов a; b; c : d-24; 13; -29.
2) a ∙ b:
a ∙ b=ax∙bx+ ay∙by+ az∙bz=-2∙5+2∙-7+8∙-5=-10-14-40=-64
3) c ∙ d:
c ∙ d=cx∙dx+ cy∙dy+ cz∙dz=4∙-3+-5∙6+-9∙4=-12-30-36=-78
4) 2a + 3b∙ 5c - 4d:
2∙a=2∙ax; 2∙ay; 2∙az=2∙-2;2∙2;2∙8=-4;4;16;
3∙b=3∙bx; 3∙by; 3∙bz=3∙5;3∙-7;3∙-5=15; -21; -15;
5∙c=5∙cx; 5∙cy; 5∙cz=5∙4;5∙-5;5∙-9=20; -25; -45;
4∙d=4∙dx; 4∙dy; 4∙dz=4∙-3;;4∙6;4∙4=-12;24;16;
2a + 3b=-4+15;4+-21;16+(-27)=11; -17; 1;
5c - 4d=20--12; -25-24; -45-16)=32; -49; -61;
2a + 3b∙ 5c - 4d=11∙32+-17∙-49+1∙-61=352+833-61=1124.
5) a × b:
a×b=ijkaxayazbxbybz=ijk-2285-7-5=i∙28-7-5-j∙-285-5+k∙-225-7=
=i∙2∙(-5)--7∙8-j∙-2∙(-5)-5∙8+k∙-2∙-7-5∙2=
-10+56∙i-10-40∙j+14-10∙k=46i+30j+4∙k=46;30;4
6) c × d:
c × d=ijkсxcxczdxdydz=ijk4-5-9-364=i∙-5-964-j∙4-9-34+k∙4-5-36=
=i∙(-5)∙4--9∙6-j∙4∙4--3∙(-9)+k∙4∙6--3∙(-5)=
=-20+54∙i-16-27∙j+24-15∙k=34i+11j+9k=34;11;9.
7) a × c∙ d:
Найдем, вначале, векторное произведение векторов:
a × c=ijkaxaxaxcxcycz=ijk-2284-5-9=i∙28-5-9-j∙-284-9+k∙-224-5=
=i∙2∙(-9)--5∙8-j∙-2∙(-9)-4∙8+k∙-2∙(-5)-4∙2=
=-18+40∙i-18-32∙j+10-8∙k=22i+14j+2k=22;14;2,
Найдем скалярное произведение векторов:
a × c∙ d=22∙-3+14∙6+2∙4=-66+84+8=26
Ответ: 1) d-24; 13; -29