Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка – интервалы наблюдавшихся значений случайной величины X. Вторая – соответствующие им частоты. Требуется:
1) Построить гистограмму и полигон относительных частот.
2) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
3) Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.
4) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального закона, записать плотность вероятности случайной величины X и построить ее график на одном чертеже с гистограммой относительных частот. (График выравнивающей кривой).
5) Найти теоретические частоты нормального закона распределения. При уровне значимости α=0.05 проверить по критерию согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения.
6) Найти интервальные оценки параметров a и σ нормального закона распределения. Доверительную вероятность принять равной 0,95.
Интервалы (20; 26) (26; 32) (32; 38) (38; 44) (44; 50) (50; 56) (56; 62) (62; 68)
Частоты 1 4 20 45 60 44 21 5
Решение
Построим гистограмму и полигон относительных частот.
Интервалы Середина интервала, xi
Частоты Относительные частоты, wi=nin
Накопительные частости
wiнак
(20; 26) 23 1 0,005 0,005
(26; 32) 29 4 0,02 0,025
(32; 38) 35 20 0,1 0,125
(38; 44) 41 45 0,225 0,35
(44; 50) 47 60 0,3 0,65
(50; 56) 53 44 0,22 0,87
(56; 62) 59 21 0,105 0,975
(62; 68) 65 5 0,025 1
∑
200 1
Распределение непрерывной случайной величины принято графически представлять кривой распределения, которая является графиком ее плотности вероятностей (дифференциальной функции распределения). В статистике одной из оценок кривой распределения является гистограмма относительных частот.
Это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями, которых служат частичные интервалы, а высотами являются относительные частоты wi на частичных интервалах.
Нередко от интервального распределения выборки бывает удобно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. По полученным значениям в вышеуказанной таблице может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках xi;wi.
2) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Записываем эмпирическую функцию распределения (по значениям столбца wiнак).
Интервалы Середина интервала, xi
Частоты Относительные частоты, wi=nin
Накопительные частости
wiнак
(20; 26) 23 1 0,005 0,005
(26; 32) 29 4 0,02 0,025
(32; 38) 35 20 0,1 0,125
(38; 44) 41 45 0,225 0,35
(44; 50) 47 60 0,3 0,65
(50; 56) 53 44 0,22 0,87
(56; 62) 59 21 0,105 0,975
(62; 68) 65 5 0,025 1
∑
200 1
F*x=0 при x≤230.005 при 23<x≤290.025 при 29<x≤350.125 при 35<x≤410.35 при 41<x≤470.65 при 47<x≤530.87 при 53<x≤590.975 при 59<x≤651 при x>65
Строим график эмпирической функции распределения
3) Вычислим числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для этого составим расчетную таблицу:
Несмещенной оценкой математического ожидания является средняя выборочная:
xB=1ni=1kxini
xB=9400200=47
DB=xi-xB2*nin=12600200=63
σB=DB=63≈7.94
4) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального закона, записать плотность вероятности случайной величины X и построить ее график на одном чертеже с гистограммой относительных частот
. (График выравнивающей кривой).
Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону распределения, тогда параметр a– это математическое ожидание М(х), а параметр b – это среднее квадратичное отклонение σ(х).
Плотность распределения вероятностей f(x) будет выглядеть так:
fx=1σ2π*e-x-a22σ2
fx=17.942π*e-x-472126
Построим график:
5) Найти теоретические частоты нормального закона распределения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
