Дана структурная матрица A торговли трёх стран. Найти бюджеты этих стран

Рассматриваем линейную модель международной торговли трех стран.
Пусть x1, x2, x3 – бюджеты трех стран, расходуемые на покупку товаров.
Пусть a11, a21, a31 – доли бюджета x1, которые первая страна тратит на закупку товаров у первой, второй и третьей стран. Пусть a12, a22, a32 – доли бюджета x2, которые вторая страна тратит на закупку товаров у первой, второй и третьей стран. Пусть a13, a23, a33 – доли бюджета x3, которые третья страна тратит на закупку товаров у первой, второй и третьей стран.
Эти данные представляют в виде следующей матрицы:
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
Если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне её (торговый бюджет), то справедливы равенства:
a11 + a21 + a31 = 1; a12 + a22 + a32 = 1; a13 + a23 + a33 = 1.
Матрица A, для которой сумма элементов любого её столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли.
Для каждой из трех стран общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулами:
P1 = a11·x1 + a12·x2 + a13·x3;
P2 = a21·x1 + a22·x2 + a23·x3;
P3 = a31·x1 + a32·x2 + a33·x3.
Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли состоит в том, что для каждой страны её бюджет должен равняться выручке от торговли, то есть P1 = x1, P2 = x2, P3 = x3.
Таким образом, получаем систему уравнений:
a11·x1 + a12·x2 + a13·x3 = x1;
a21·x1 + a22·x2 + a23·x3 = x2;
a31·x1 + a32·x2 + a33·x3 = x3.
Эта же система в матричной форме: A · EQ \O(x,¯) = EQ \O(x,¯) или (A – E) · EQ \O(x,¯) = EQ \O(0,¯).
В соответствии с условием нашей задачи имеем:
0,5 0,1 0,5
A = 0,1 0,1 0,3 .
0,4 0,8 0,2
Элементы данной матрицы A удовлетворяют условиям структурной матрицы торговли, то есть сумма элементов любого её столбца равна единице.
Из уравнения (A – E) · EQ \O(x,¯) = EQ \O(0,¯) получаем:
–0,5 0,1 0,5
x1
0
–0,5·x1 + 0,1·x2 + 0,5·x3 = 0;
0,1 –0,9 0,3 · x2 = 0 или 0,1·x1 – 0,9·x2 + 0,3·x3 = 0;
0,4 0,8 –0,8
x3
0
0,4·x1 + 0,8·x2 – 0,8·x3 = 0.
Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
(1) –0,5 0,1 0,5 (2) –5 1 5 (3) 1 –9 3 (4)
0,1 –0,9 0,3 1 –9 3 –5 1 5
0,4 0,8 –0,8
4 8 –8
4 8 –8
(4) 1 –9 3 (5) 1 –9 3 (6) 1 –9 3
0 –44 20 0 –44 20 0 11 –5
0 44 –20
0 0 0
(1). Записываем матрицу системы.
(2)