Дана принципиальная схема САУ поддержание определенной температуры в камере инкубатора (из файла «функциональная схема САУ»)

Принципиальная схема САУ имеет вид:
Рис. 1. Принципиальная схема САУ
1 — инкубационная камера; 2 — термопара; 3 — лоток с яйцами; 4 — нагревательный элемент; 5 — исполнительный орган — тиристорный регулятор напряжения; 6— силовой блок; 7 — блок управления тиристорами; 8 — электронный усилитель постоянного тока; 9 — задающий резистор; ОР — объект регулирования; РО — регулирующий орган; ИО — исполнительный орган; УО — усилительный орган; СО — сравнивающий орган; ВО — воспринимающий орган
Объект управления – инкубационная камера с лотком и яйцами, уложенными на нем. Регулируемая величина – температура в камере θк зависит от возмущающего воздействия – температуры окружающей среды θо. Величину θк можно регулировать, изменяя регулирующее воздействие – температуру нагревательного элемента θн.
Данная САР работает следующим образом. Для измерения температуры в инкубационной камере 7 имеется термопара 2, сигнал которой — ЭДС Е сравнивается с задающим (опорным) сигналом U0. Изменяя опорное напряжение U0 с помощью резистора 9, подключенного к стабилизированному источнику постоянного тока, задают необходимую температуру в камере инкубатора (Θзад = 37,5 ± 0,2 °С). При этом входные и выходные величины элементов САР (ΔU=U0 - Е; Uy; UH; Θ Н) будут иметь определенные значения, соответствующие заданному значению температуры в инкубаторе.
Если, например, внешнее возмущение — температура окружающей среды Θ0 уменьшилась, то снизится и температура ΘК внутри камеры инкубатора. Это, в свою очередь, приведет к уменьшению сигнала термопары Ен к росту сигнала рассогласования ΔU=U0 -Е, что вызовет увеличение напряжения UH на нагревательном элементе, выделяемой им мощности Р и его температуры ΘН. Увеличение последней приведет к росту температуры ΘК до заданного значения. Увеличение температуры окружающей среды θо по аналогии с вышеизложенным вызовет обратный эффект (увеличение ΘК, Е и уменьшение Uy, UH, ΘH).
Построим функциональную схему:
Рис. 2. Функциональная схема САУ
Задача построения математической модели данной САР состоит в определении уравнений, отображающих взаимосвязи в объекте регулирования регулируемой величины ΘК с входными воздействиями ΘН и Θ0, а в остальных элементах системы соответственно выходных величин с входными в динамическом режиме.
Математическую модель объекта регулирования(камеры инкубатора совместно с лотком и яйцами) определяют на основе уравнения теплового баланса:
где Ск — усредненная теплоемкость, определяемая теплоемкостями воздуха внутри камеры, яиц и материала лотка; mк — усредненная масса, определяемая массами воздуха, яиц и лотка; Фп.к — поток теплоты, поступающий в камеру от нагревательного элемента; Фо.к — поток теплоты, отводимый из камеры через стенки в окружающую среду.
Поток теплоты, поступающий в камеру от нагревателя,
где αн — коэффициент теплоотдачи нагревательного элемента; FH —площадь поверхности нагревательного элемента.
Поток теплоты, отводимый из камеры,
где α0 — коэффициент теплоотдачи ограждения (стенок) камеры; F0 — площадь теплоотдающей поверхности стенок камеры.
С учетом формул (1.2) и (1.3) уравнение (1.1) после несложных преобразований примет вид
Постоянную времени Тк камеры и коэффициенты передачи kн и kо определяют по формулам:
Математическую модель регулирующего органа (нагревательного элемента) определяют по аналогии с изложенным ранее на основе уравнения теплового баланса:
где Сн, mн — соответственно удельная теплоемкость и масса нагревательного элемента; Рн — мощность нагревательного элемента.
С учетом формулы (1.2) уравнение (1.5) после соответствующих преобразований примет вид
Вводя обозначения
уравнение (1.5) можно окончательно записать так:
где Тн, kн — соответственно постоянная времени и коэффициент передачи нагревательного элемента.
Мощность
где UH  - напряжение на нагревательном элементе; R- активное cопротивление нагревательного элемента.
Таким образом, динамика нагревательного элемента описывается уравнениями (1.7) и (1.8).
Для получения математической модели (дифференциального уравнения) воспринимающего органа(термопары) запишем уравнение теплового баланса
где Ст, mт — соответственно удельная теплоемкость и масса термопары; ΘТ — температура термопары; Θп т — поток теплоты, поступающий к термопаре из воздушного пространства камеры.
Поток теплоты
где αТ — коэффициент теплоотдачи от воздуха к термопаре; FT — площадь поверхности термопары.
С учетом формулы (1.10) уравнение (1.9) примет вид
Вводим обозначение
где ТТ — постоянная времени термопары.
Тогда уравнение теплового баланса окончательно запишем так:
Это уравнение отображает только термический процесс в термопаре . По условию же задачи необходимо определить взаимосвязь температуры в камере ΘК с ЭДС термопары Е. Зависимость ЭДС термопары от ее температуры ΘТ можно приближенно описать так:
где kТ — коэффициент, определяемый по графику градуировочной (статической) характеристики термопары (рис. 1.2) как отношение приращений ΔΕ к ΔΘ в рабочей зоне: kТ = ΔΕ / ΔΘ.
Исключая в уравнениях (1.12) и (1.13) промежуточную переменную ΘТ и учитывая, что
получим окончательно дифференциальное уравнение термопары
Остальные элементы рассматриваемой САР (см. рис. 1) — тиристорный регулятор напряжения (ИО) и электронный усилитель (УО) являются электротехническими устройствами. Их математические модели можно определить на основе законов электротехники. Эти элементы относятся к электронным устройствам, в которых входные сигналы передаются на выход практически без каких-либо временных задержек, так как ток в них создается за счет электронов и «дырок», обладающих сверхмалой массой. Поэтому математические модели тиристорного регулятора напряжения (усилителя) и электронного усилителя описываются соответственно следующими алгебраическими уравнениями:
где kтр, kэ — коэффициенты усиления соответственно тиристорного регулятора и электронного усилителя.
Таким образом, с учетом зависимости ΔU=U0 - Е, отображающей обратную связь в системе, на основе уравнений (1.4), (1.7), (1.8), (1.14) и (1.15) математическая модель САР температуры в инкубаторе может быть представлена следующей системой уравнений:
Анализ системы уравнений (1.16) показывает, что рассматриваемая САР нелинейная. Ее нелинейность обусловлена наличием нелинейного алгебраического уравнения (1.8). Это уравнение можно привести к линеаризованному виду, используя известные в теории автоматического регулирования методы линеаризации, основываясь на следующих рассуждениях.
Рассматриваемая система стабилизации температуры в инкубаторе (см. рис. 1) предназначена для поддержания температуры в камере ΘК на заданном уровне. При работе системы величина 8К изменяется в пределах малых отклонений ± ΔΘК относительно заданного значения. В пределах малых отклонений будут изменяться также все входные и выходные величины элементов САР, в том числе напряжение Uн на нагревательном элементе и его мощность Р соответственно относительно значений Uн0 и P0 (здесь Uн0, P0 — напряжение на нагревательном элементе и его мощность, соответствующие установившемуся заданному значению температуры в инкубаторе).
Для линеаризации уравнения (1.8) воспользуемся аналитическим методом линеаризации, разложив его в ряд Тейлора, при U = Uн0.
Пренебрегая нелинейными членами ряда ввиду их малости, получаем
Так как Р – P0 = ΔР, a UH - Uн0 = ΔUH, то линеаризованное уравнение в пределах малых отклонений мощности ΔР и напряжения ΔUH можно записать в следующем виде:
Для определения kp возьмем производную от исходной функции (1.8)
Подставив в это выражение UH = Uн0, получим
С учетом выражения (1.18) линеаризованное уравнение мощности нагревательного элемента (1.17) примет вид
Таким образом, нелинейную математическую модель САР (1.16) с учетом уравнения (1.17) можно рассматривать как линеаризованную математическую модель.
Для рассматриваемой САР передаточные функции на основе уравнений (1.4), (1.7), (1.14), (1.15), (1.17) после их преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях примут вид:
- передаточная функция камеры инкубатора по регулирующему воздействию;
 - передаточная функция камеры по возмущающему воздействию;
 - передаточная функция термопары;
 - передаточная функция нагревателя по каналу мощности Р;
 - передаточная функция нагревателя по каналу температуры ΘК;
 - передаточная функция, соответствующая линеаризованному уравнению (1.17);
 - передаточная функция электронного усилителя;
 - передаточная функция тиристорного регулятора напряжения.
На основе изложенного исходную математическую модель САР температуры в камере инкубатора (1.16) можно представить в виде структурной схемы (рис