Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами

Исследуем систему на совместность. Воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли, для этого найдем ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы.
Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
213321111 -153~21301/2-7/2111 -113/23~21301/2-7/201/2-1/2 -113/27/2~
~21301/2-7/2003 -113/2-3
rank213321111 -153= rank21301/2-7/2003 -113/2-3=3
Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы и равен числу неизвестных. Система совместна и имеет единственное решение.
Решим данную систему тремя способами:
1) по формулам Крамера
Подсчитаем сначала главный определитель системы ∆, воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка:
a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11*a22a23a32a33-a12*a21a23a31a33+a13*a12a22a31a32
В нашем случае главный определитель равен:
∆=213321111=2*2*1-1*1-1*3*1-1*1+3*3*1-1*2=3
Так как ∆≠0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение . Для его отыскания вычислим вспомогательные определители ∆x, ∆y, ∆z:
∆x=-113521311=-1*2*1-1*1-1*5*1-3*1+3*5*1-3*2=-6
∆y=2-13351131=2*5*1-3*1--1*3*1-1*1+3*3*3-1*5=18
∆z=21-1325113=2*2*3-1*5-1*3*3-1*5+-1*3*1-1*2=-3
Далее, воспользовавшись формулами Крамера, окончательно получим:
x=∆x∆=-63=-2
y=∆y∆=183=6
z=∆z∆=-33=-1
2) методом Гаусса
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
213321111 -153~21301/2-7/2111 -113/23~21301/2-7/201/2-1/2 -113/27/2~
~21301/2-7/2003 -113/2-3
2x+y+3z=-112y-72z=1323z=-3
2x+y+3*-1=-1y-7*-1=13z=-1
2x+y-3=-1y+7=13z=-1
2x+6=2y=6z=-1
2x=-4y=6z=-1
x=-2y=6z=-1
3) средствами матричного исчисления
Предположим
A=213321111; X=xyz; F=-153
Тогда система уравнений запишется в виде равенства матриц.
AX=F
Определитель матрицы А
Det A=∆=213321111=2*2*1-1*1-1*3*1-1*1+3*3*1-1*2=3≠0
Следовательно, матрица А не выражена и поэтому имеет обратную матрицу.
A-1=1△=A11A21A31A12A22A32A13A23A33
Где Aij – алгебраическое дополнение, соответствующее элементу aij