Дана плотность распределения вероятностей случайной величины fx

Найдём параметр а из условия нормировки плотности распределения:
-∞+∞fxdx=1
-∞+∞fxdx=-∞10dx+12ax-12-xdx+2+∞0dx=
=12a3x-x2-2dx=3a12xdx-a12x2dx-2a12dx=3ax2212-
-ax3312-2ax12=32a4-1-a38-1-2a2-1=92a-73a-2a=a6
=1⇒a=6.
Тогда,
fx=0, при x<1,6x-12-x при 1≤x≤2, 0 при x>2.
б)
Fx=-∞xftdt=1x6t-12-tdt=1x-6t2+18t-12dt=
=-61xt2dt+181xtdt-121xdt=-6t331x+18t221x-12t12=
=-2x3-1+9x2-1-12x-1=-2x3+9x2-12x+5.
Fx=0, при x<1,-2x3+9x2-12x+5 при 1≤x≤2, 0 при x>2.
в) Математическое ожидание находим по формуле:
MX=-∞+∞x∙fxdx=-∞1x∙0dx+12x∙6x-12-xdx+2+∞x∙0dx=
=12-6x3+18x2-12xdx=-612x3dx+1812x2dx-1212xdx=
=-6x4412+18x3312-12x2212=-3216-1+68-1-64-1=
=-452+42-24=32=1,5.
г) Дисперсия:
DX=MX2-MX2;
MX2=-∞+∞x2∙fxdx=-∞1x2∙0dx+12x2∙6x-12-xdx+
+2+∞x2∙0dx=12-6x4+18x3-12x2dx=-612x4dx+1812x3dx-
-1212x2dx=-6x5512+18x4412-12x3312=-6532-1+9216-1-
-48-1=-1865+1352-28=2310.
Тогда
DX=2310-322=2310-94=120.
д) вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу 1;1,5.
P1<X<1,5=F1,5-F1=-2∙323+9∙322-12∙32+5-
--2+9-12+5=-274+814-18+5-0=12.