Дана функция z=3x2-3xy+y2+4.Найдите её наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве

Сделаем рисунок области определения:
Прямые х = -1 и х + у = 1 пересекаются в точке А( - 1; 2); прямые у = - 1 и
х + у = 1 пересекаются в точке В( 2; - 1 ); прямые х = - 1 и у = - 1 пересекаются в точке С( - 1; - 1 ). Заданные линии образуют область определения в виде треугольника АВС.
Найдем стационарные точки.
Стационарные точки внутри области определения D.
Найдем частные производные:
∂z∂x=zx'=3x2-3xy+y2+4x'=6x-3y;
∂z∂y=zy'=3x2-3xy+y2+4y'=-3x+2y.
Находим стационарные точки из системы:
∂z∂x=6x-3y=0,∂z∂y=-3x+2y=0. ⇒ 6x-3y=0,-3x+2y=0. ⇒ x=0,y=0.
Получили одну стационарную точку: M0;0.
Точка M0;0 лежит внутри области D.
Найдем значение функции в точке М:
z0,0=3∙02-3∙0∙0+02+4=4 .
2. Найдем значения функции в точках -1;2, 2;-1, -1;-1:
z-1;2=3∙-12-3∙-1∙2+22+4=3+6+4+4=17;
z2;-1=3∙22-3∙2∙-1+-12+4=12+6+1+4=23;
z-1;-1=3∙-12-3∙-1∙-1+-12+4=3-3+1+4=5.
3. Стационарные точки на прямой х + у = 1, имеем:
zx,y=zx, -x+1=
=3x2-3x∙-x+1+-x+12+4=3x2+3x2-3x+x2-2x+1+4=
=7x2-5x+5.
Получили функцию от одного аргумента. Найдем ее критические точки на отрезке -1, 2 , найдя производную и приравняв к нулю:
z1'x, -x+1=7x2-5x+5x'=14x-5,
14x-5=0 ⇒ x=514, 514∈-1, 2 ; y=-514+1=914.
Значение функции в этой точке:
z1=z514=7∙5142-5∙514+5=2528-2514+5=2528-5028+14028=11528=4328 или
z1=z514=4328.
То есть, z514,914=4328.
При х = - 1 и х = 2 приходим к точкам А( - 1; 2) и В( 2; - 1 ).
4