Частное решение дифференциального уравнения удовлетворяет условию

Решим данное уравнение с помощью следующей замены:
y=uv, y'=u'v+uv'
Тогда:
u'v+uv'+uvtgx=4cos8x*sinx
u'v+uv'+vtg x=4cos8x*sinx
Получаем систему уравнений:
v'+v tg x=0u'v=4cos8x*sinx
Решим первое уравнение системы:
v'+v tg x=0
dvv=-tg x dx
lnv=lncosx
v=cosx
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и решим его:
u'cosx=4cos8x*sinx
u'=4cos7x*sinx
du=4cos7xsinx dx
u=-12cos8x+C
Делаем обратную замену и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:
y=uv=cosx*-12cos8x+C=Ccosx-12cos9x
Теперь воспользуемся начальным условием:
y5π3=Ccos5π3-12*cos95π3=2316
12C-12*129=2316
12C-1210=2316
12C-129=2316
C-1512=2316*2=4616=238
C=238+1512=1472512+1512=1473512
Тогда частное решение выглядит так:
y=1473cosx512-cos9x2
Найдём искомое значение:
y0=1473512-12=1473512-256512=1217512
Ответ: y=1217512≈2,377