Была собрана информация по предприятиям торговли, характеризующее зависимость величины выручки (Y, млн. руб.) от величины инвестиций (X, млн. руб.).
Необходимо:
Вычислить значение коэффициента парной линейной корреляции, охарактерировать силу статистической связи между X и Y, проверить коэффициент корреляции на значимость по t-критерию Стьюдента ().
Определить параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Проверить значимость уранения регрессии с помощью F-критерия Фишера ().
Проверить значимость параметров уравнения регрессии по t-критерию Стьюдента ().
Провести проверку адекватности модели регрессии (проверить выполнение предпосылок МНК).
Вычислить коэффициент детерминации, сделать вывод о качестве модели регрессии.
Вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделайте вывод о точности модели.
Постройте интервальный прогноз для среднего значения показателя Y для уровня значимости , при условии, что прогнозное значение фактора X оставит 90% от его максимального значения по выборке.
Постройте график, на котором должны быть отражены экспериментальные, модельные и прогнозные значения Y.
Вариант 3
X Y
40 68
26 53
27 44
36 65
48 75
25 50
39 69
40 60
26 45
46 66
Решение
1. Вычислим значение коэффициента парной линейной корреляции по формуле:
rx,y=xi*yi-xi*yiσx*σy
σx=(x-x)2n σy=(y-y)2n)
Составим дополнительную таблицу 2 :
Таблица 2
№п/п х у ху
(x-x)2
(y-y)2
1 40 68 2720 22,09 72,25
2 26 53 1378 86,49 42,25
3 27 44 1188 68,89 240,25
4 36 65 2340 0,49 30,25
5 48 75 3600 161,29 240,25
6 25 50 1250 106,09 90,25
7 39 69 2691 13,69 90,25
8 40 60 2400 22,09 0,25
9 26 45 1170 86,49 210,25
10 46 66 3036 114,49 42,25
Сумма 353 595 21773 682,1 1058,5
Ср.знач
35,3 59,5 2177,3 68,21 105,85
Вычислим значения:
σx=(x-x)2n=68.21=8.26 σy=(y-y)2n=105.85=10.29
Находим rx,y: rx,y=2177.3-35.3*59.58.26*10.29=0.906
Коэффициент rx,y положительный, что свидетельствует о наличии прямой связи между инвестициями и величиной выручки. Коэффициент получился близким к единице, это значит, что между исследуемыми величинами тесная зависимость.
Проверим коэффициент корреляции на значимость по t-критерию Стьюдента по формуле:
tнабл=rx,y*n-21-rx,y2=0,906*10-21-0,9062=6,04
Примем α=0,05 , тогда:
tкрит0,05; 8=2,31
Исходя из того что tнабл>tкрит, т.е. коэффициент rx,y является значимым.
2. Определим параметры уравнения линейной регрессии
b=yx-y∙xσx2=2177.3-35.3*59.58.262=1.13
a=y-bx=59.5-1.13*35.3=19.68
Получено уравнение регрессии:y=19.68+1.13x.
С увеличением объема инвестиций на 1 млн. руб выручка возрастает в среднем на 1,13 млн. руб.
3. Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.
Фактическое значение -критерия:
Fфакт=rxy21-rxy2n-2=0,90621-0.9062*(10-2)=36.47
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы k1=1 и k2=10-2=8 составляет Fтабл=5.32
. Так как Fфакт=36.47>Fтабл=5.32, то уравнение регрессии признается статистически значимым.
4.Проверим значимость параметров уравнения регрессии по t-критерию Стьюдента.
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы df=10-2=8 и составит tтабл=2,31. Составим дополнительную таблицу 3 .
Таблица 3
()2
1 40 68 1600 64,80 10,23 4,70
2 26 53 676 49,01 15,93 7,53
3 27 44 729 50,14 37,66 13,95
4 36 65 1296 60,29 22,19 7,25
5 48 75 2304 73,83 1,38 1,56
6 25 50 625 47,88 4,49 4,24
7 39 69 1521 63,67 28,37 7,72
8 40 60 1600 64,80 23,06 8,00
9 26 45 676 49,01 16,07 8,91
10 46 66 2116 71,57 31,04 8,44
Итого 353 595 13143 595,00 190,40 72,30
Среднее значение 35,3 59,5 1314,3 59,50 19,04 7,23
Определим случайные ошибки , :
Sост=(y-y)2n-2=190.408=23.80=4.88
ma=Sостx2nσx=4.881314310*8.26=6.77 mb=Sостσxn=4.8810*8.26=0.19
Тогда
ta=ama=19.686.77=2.91 tb=bmb=1.130.19=6.04
Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:
ta=2.91>tтабл=2,31;tb=6,04>tтабл=2,31;
поэтому параметры , не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
5.Проведем проверку адекватности модели регрессии (проверить выполнение предпосылок МНК).
Построим дополнительную таблицу 4
Таблица 3
|ei| ei-1 e2 (ei - ei-1)2
1 68 64,80 3,20
2 53 49,01 3,99 3,20 15,93 0,63
3 44 50,14 -6,14 3,99 37,66 102,58
4 65 60,29 4,71 -6,14 22,19 117,65
5 75 73,83 1,17 4,71 1,38 12,51
6 50 47,88 2,12 1,17 4,49 0,90
7 69 63,67 5,33 2,12 28,37 10,28
8 60 64,80 -4,80 5,33 23,06 102,58
9 45 49,01 -4,01 -4,80 16,07 0,63
10 66 71,57 -5,57 -4,01 31,04 2,44
Итого 595 595 0,00 5,57 180,18 350,20
Построим график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака, для этого определим величину этих остатков (рис.1.).
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
