Балансовый отчет для трехотраслевой модели экономики представлен в таблице

Так как объем конечного продукта любой i-ой отрасли равен разности между валовым выпуском продукции этой отрасли и суммарным объемом продукции, потребляемой всеми отраслями, то балансовые соотношения для нашей задачи имеют вид:
y1=200-20-30-30=120
y2=150-20-30-40=60
y3=200-45-120=35
Y0=1206035
Составим технологическую матрицу прямых затрат A. Ее элементы aij показывают затраты продукции i-ой отрасли на производство продукции j-ой отрасли
aij=xijxj
A=202003015030200202003015040200020045150120200=0,10,20,150,10,20,200,30,6
Матрица A≥0 продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
Так как все элементы матрицы неотрицательны, то A≥0
maxj i=13aij=max0,1+0,1+0;0,2+0,2+0,3;0,15+0,2+0,6=
=max0,2;0,7;0,95=0,95<1
Матрица A продуктивная.
Если технологическая матрица A≥0 (матрица прямых затрат) продуктивна, то матрица полных затрат S=(E-A)-1 неотрицательна и для любого ассортиментного вектора конечной продукции Y≥0 можно найти вектор валового выпуска X≥0.
Найдем матрицу полных затрат:
S=(E-A)-1=B-1
B=100010001-0,10,20,150,10,20,200,30,6=0,9-0,2-0,15-0,10,8-0,20-0,30,4
B=0,9-0,2-0,15-0,10,8-0,20-0,30,4=0,288-0,0045-0,008-0,054=0,2215
B-1=1B∙B
B=B11B21B31B12B22B32B13B23B33
Bij - алгебраические дополнения элементов bij матрицы B
Найдем все элементы присоединенной матрицы B
B11=(-1)1+1∙0,8-0,2-0,30,4=0,32-0,06=0,26
B12=(-1)1+2∙-0,1-0,200,4=0,04
B13=(-1)1+3∙-0,10,80-0,3=0,03
B21=(-1)2+1∙-0,2-0,15-0,30,4=0,08+0,045=0,125
B22=(-1)2+2∙0,9-0,1500,4=0,36
B23=(-1)2+3∙0,9-0,20-0,3=0,27
B31=(-1)3+1∙-0,2-0,150,8-0,2=0,04+0,12=0,16
B32=(-1)3+2∙0,9-0,15-0,1-0,2=0,18+0,015=0,195
B33=(-1)3+3∙0,9-0,2-0,10,8=0,72-0,02=0,7
B-1=10,2215∙0,260,1250,160,040,360,1950,030,270,7
Выполним проверку правильности нахождения обратной матрицы:
B-1∙B=10,2215∙0,260,1250,160,040,360,1950,030,270,7∙0,9-0,2-0,15-0,10,8-0,20-0,30,4=
=10,2215∙0,234-0,0125+0-0,052+0,1-0,048-0,039-0,025+0,0640,036-0,036+0-0,008+0,288-0,0585-0,006-0,072+0,0780,027-0,027+0-0,006+0,216-0,21-0,0045-0,054+0,28=
=10,2215∙0,22150000,22150000,2215=100010001=E
Проверка подтвердила правильность найденной нами матрицы
Заметим, что элементы sij матрицы S определяют полные (прямые и косвенные) затраты продукции i-й отрасли, необходимые j-й отрасли для производства единицы ее конечной продукции.
И, наконец, для нового вектора конечной продукции
X=S∙Y=10,2215∙0,260,1250,160,040,360,1950,030,270,7∙120200190=
=10,2215∙31,2+25+30,44,8+72+37,053,6+54+133=10,2215∙86,6113,85190,6=390,97514860,5