Автомобильный концерн «Кайзер», выпускающий автомобили марки «Родео» трех основных модификаций: СЕДАН, ХЭТЧБЭК, и УНИВЕРСАЛ, провел маркетинговые исследования и проанализировал объемы продаж машин за три сезона: ОСЕНЬ, ЗИМА, ВЕСНА. В зависимости от времени года эксперты проанализировали нормы прибыли (в условных единицах), которые могут быть записаны в виде матрицы выигрышей концерна «Кайзер»:
Стратегии В1 В2 В3
А1 – выпуск автомобиля «Родео» типа СЕДАН А1 4 1 2
А2 – выпуск автомобиля «Родео» типа ХЭТЧБЭК А2 3 4 1
А3 – выпуск автомобиля «Родео» типа УНИВЕРСАЛ А3 1 3 4
Конкурирующие стратегии (сезонный спрос на автомобили): В1 – спрос на автомобили ОСЕНЬЮ, В2 – спрос на автомобили ЗИМОЙ, В3 – спрос на автомобили ВЕСНОЙ.
Определить оптимальные смешанные стратегии для концерна «Кайзер» по выпуску автомобиля «Радео», обеспечивающий наибольшую прибыль в любое время года.
Решение
Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок А выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок В выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I. Проверим игру на наличие седловой точки.
Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент и запишем его в дополнительный столбец. Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент и запишем его в дополнительную строку снизу.
Игроки В1 В2 В3 а = min(Ai)
А1 4 1 2 1
А2 3 4 1 1
А3 1 3 4 1
b = max(Bj) 4 4 4
Определяем нижнюю и верхнюю цены игры:
- нижняя цена игры,
- верхняя цена игры.
Так как , то решение игры определяется в смешанных стратегиях. Цена игры v заключена между нижней и верхней ценами, т.е. .
Составим задачи линейного программирования для каждого игрока.
Для игрока А:
Для игрока В (двойственная задача):
Вводя вспомогательные переменные x4 0, x5 0, x6 0 для исходной задачи и y4 0, y5 0, у6 0 для двойственной задачи, модели задач преобразуем к канонической форме
. При этом вспомогательные переменные примем за базисные. Соответствие между переменными пары взаимодвойственных задач будет следующее:
Решим двойственную задачу линейного программирования (ЗЛП) для определения выигрыша игрока B . Приведём двойственную ЗЛП к каноническому виду:
или в векторной форме:
,
Каноническая ЗЛП имеет необходимое число единичных столбцов, т.е. обладает очевидным начальным опорным планом:
Решение осуществляем в симплекс-таблицах:
№ Базис сj
сб В 1 1 1 0 0 0 Q
А1 А2 А3 А4 А5 A6
0 A4 0 1 4 1 2 1 0 0 1/2
A5 0 1 3 4 1 0 1 0 1
A6 0 1 1 3 111760-10795004 0 0 1 1/4
0 -1 -1 -1* 0 0 0
В нулевой симплекс-таблице в базис введены дополнительные векторы А4, А5, А6. Рассчитаем строку оценок для каждого столбца А1, А2, А3, А4, А5, А6:
Исходный план не является оптимальным, т.к. среди оценок имеются отрицательные. Переход к новому опорному плану осуществим, введя в базис новой симплекс-таблицы (итерация I) вектор А3, имеющий отрицательную оценку . Столбец А3 - направляющий.
Определим вектор, выходящий из базиса нулевой симплекс-таблицы:
Вектор А6 выводим из базиса
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
