Автоматическая линия состоит из n независимо работающих однотипных станков

1) Случайная величина Х – число станков, которые потребуют наладки в течение смены среди 4-х работающих – может принимать одно из пяти значений: х = 0,1,2,3,4. Найдем вероятность каждого из этих значений.
Используем формулу Бернулли:
Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р, то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, равняется

Вероятность того, что станок потребует наладки в течение смены для каждого станка равна 0,3:




Составляем таблицу распределения, записывая значения хі = k, которые может принять дискpетная случайная величина Х , а также вероятности pі = Р4(xі) = Р4(k).
Х xі 0 1 2 3 4
pі 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081
Проверка: закон распределения построено веpно, т.к . сумма всех вероятностей равна единице: .
Так как данная серия испытаний принадлежит схеме Бернулли, то получаем биномиальний закон распределения случайной величины X.
Построим многоугольник распределения, нанеся на график точки (xі , pі ):
0·0,2401+1·0,4116 +2·0,2646+3∙0,0756+4∙0,0081= 1,2.
= 02·0,2401+12·0,4116+22 · 0,2646+ 32 ∙ 0,0756+42 ∙ 0,0081– 1,22 = 0,84.
Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии:

Оценим вероятность того, что за смену потребуют наладки 20 станков, если n = 100, если вероятность наладки равна р=0,3.
Используем локальную теорему Муавра –Лапласа: Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р, то вероятность того, что событие А настанет ровно k раз, находится в случае больших значений n и k – по локальной формуле Муавра-Лапласа:
.
Здесь n = 100; р = 0,3 ; q = 1–0,3=0,7 ; k = 20