Содержание изучения содержательной линии «Многоугольники»

Тема «Многоугольники» – важнейшая тема в курсе геометрии 7-9 классов, которая позволяет ликвидировать кажущийся ученикам отрыв математики от реальности, помогает понять, что законы математики и законы природы неразрывно связаны.
По учебнику в 7 классе изучаются такие понятия: треугольники, равенство треугольников и их признаки, соотношения между сторонами и углами треугольника, равнобедренный и равносторонний треугольники и их свойства, сумма углов треугольника, неравенство треугольника, прямоугольные треугольники. На изучение двух больших разделов «Треугольники» и «Соотношения между сторонами и углами в треугольнике» отведено 35 часов - добрая половина всего курса геометрии 7 класса.
По программе 8 класса предусмотрено изучение следующих тем: многоугольники, четырехугольники и их частные случаи: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, площади многоугольников, в частности, треугольника и четырехугольников, соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, выраженные тригонометрическими функциями, а также подобные треугольники и их признаки. В 8 классе суммарное время на изучение тем «Четырехугольники», «Площади многоугольников» и «Подобные треугольники» равно 14 + 14 + 18 = 46 часам, что составляет 2/3 всего отведенного времени на изучение геометрии в 8 классе.
В 9 классе учащиеся знакомятся с соотношениями между сторонами и углами произвольного треугольника, вписанными и описанными многоугольниками и правильными многоугольниками. Учебный материал 9 класса не так объемен, на изучение правильных многоугольников авторы учебника выделили всего 12 часов.
Таким образом, тема «Многоугольники» занимает основное место в программе геометрии и изучается в течение всего периода обучения на ступени основного общего образования. На изучение темы в 7-9 класс отведено 93 часа. Темы рассредоточены на весь период обучения с 7 по 9 класс. Содержание темы «Многоугольники» расширяется и углубляется постепенно, с опорой на ранее изученное. В целом можно сделать вывод: 7 класс посвящен треугольникам, 8 класс – четырехугольникам, а в 9 классе рассматриваются новые понятия и отношения в планиметрии при изучении тем «Движение», «Векторы», иллюстрируемые на треугольниках и четырехугольниках, как обобщение изученных частных видов вводится понятие многоугольника.
Какое содержание о трех важнейших понятиях планиметрии: треугольнике, четырехугольнике и многоугольнике, - включено в учебник Л.С. Атанасяна?
7 класс – время и «пространство» треугольника, как фундаментальной фигуры всей планиметрии. Треугольник рассматривается как геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и соединенных отрезками

. Определяются углы, вершины, периметр треугольника. Равенство треугольников вводится как частный случай равных фигур, т.е совмещающихся наложением. Элементы равных треугольников названы соответственными углами и сходственными сторонами. В этом отличие этого автора от других.
Все треугольники разделены на виды по двум основаниям:
по количеству равных сторон: произвольный, равнобедренный, равносторонний, как частный случай равнобедренного;
по величине углов: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.
Для освоения учащимися первого признака равенства треугольника и понимания принципа решения нового вида задач на доказательство после первого признака равенства треугольников 14 часов отведено на изучение элементов треугольника: медианы, биссектрисы, высоты. Закрепление трех признаков равенства треугольников и формирование навыка решения задач происходит в ходе решения разнообразных разноуровневых задач, представленных в учебнике в достаточном количестве.
В теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» изучаются свойства треугольника, особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику.
Доказываются следующие свойства:
Сумма углов треугольника равна 1800.
Внешний угол треугольника равен сумме двух его углов, не смежных с ним;
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона (и следствия о соотношении катета и гипотенузы в прямоугольном треугольнике);
признак равнобедренного треугольника, выраженный в равенстве углов при основании;
неравенство треугольника и его следствие о сравнении суммы двух отрезков, образованных тремя точками, не лежащими на одной прямой.
Отдельно выделена тема «Прямоугольные треугольники», содержащая следующие дидактические единицы: определение, сумма острых углов, свойство катета, лежащего против угла 300 в прямоугольном треугольнике, а также четыре признака равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам, по гипотенузе и катету; по катету и острому углу, по гипотенузе и острому углу.
Вывод. Итак, треугольник – одна из простых, понятных детям, но самых важных фигур в геометрии. Поэтому изучение этого многоугольника посвящен весь 7 класс, новые свойства доказываются с использованием свойств и признаков равенства треугольников. На основе треугольников дети учатся решать задачи нового для них вида – задачи на доказательство.
8 класс - «расцвет» треугольника в частных видах многоугольников – в четырехугольниках. Впервые понятие многоугольника вводится в 8 классе в главе V «Четырехугольники». Логика изложения сходна с логикой введения треугольника.
Рассматривается фигура, составленная из отрезков AB, BC, CD, …, EF, FA так, что смежные отрезки (т.е