Мультиколлинеарность факторов, обобщенный метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов используется в качестве способа обобщенной многомерной интерполяции. Интерполятор методом наименьших квадратов предстает в виде обобщения интерполяции полиномом Лагранжа, обладающим всеми ее свойствами. Благодаря интерполятору, можно использовать в интерполяционном многочлене произвольные функции или произвольные комбинации произвольных функций, полученных от произвольных переменных или их комбинаций из исходного многомерного их набора.
В статье показана методика расчета аппроксимирующей зависимости методом наименьших квадратов по алгоритму, схожему с расчетом интерполятора Лагранжа, представленном в обобщенном виде. Выбранный метод интерполяции является универсальным по количеству переменных, по составу и виду членов полинома. Интерполяция с помощью метода наименьших квадратов либо простым решением систем линейных уравнений при количестве точек, которые равны количеству коэффициентов, по результату идентична, также универсальна и сразу представляет коэффициенты многочлена, что делает её преимуществом.
В статье показаны такие положительные стороны, что метод наименьших квадратов на практике позволяет получить одним матричным выражением нескольких корреляционных зависимостей для метода наименьших квадратов и возможность преобразовать интерполируемой переменной в интерполяционном полиноме Лагранжа. 
Недостаток статьи заключается в том, что подробно не даны варианты дополнительных примеров приведения к полиномиальному виду. Потому что в статье сказано, что метод наименьших квадратов не является лучшим решением для данной проблемы. Следовательно, остается актуальным вопрос в исследовании и выборе оптимального варианта.
Оценка перспективного состояния рынка недвижимости города Москвы на основе количественных методов исследования. Осадчий Н.К., Сызоненко И.Г.
В статье представлена модель эффективной системы управления кредитами для кредитной организации. Цель исследования заключается в определении влияния выбранных процессов управления кредитами, влияющими на эффективность всей системы управления кредитами. Это делается с помощью проверки гипотез, используя при этом обычный метод наименьших квадратов.
Математическое моделирование деятельности кредитной организации строится исходя из 240 наблюдений. Выходные факторы эксперимента включают собранную дебиторскую задолженность, входными факторами представлены 12 независимых переменных, которые оказывают существенное влияние на дебиторскую задолженность.
Обычный метод наименьших квадратов может быть использован в качестве основы тестируемой модели, полученные в результате числовые значения для коэффициентов, подходят для ранее построенного уравнения регрессии. Переменные предназначались для тестирования заданных псевдонимов, исходящих из их первоначальных обозначений. 
В качестве второго шага было использовано проведение дисперсионного анализа, чтобы проверить гипотезу о значимости модели по критерию Фишера (F-критерий).
Рассчитанное значение F получилось 9608.91 и, следовательно, превышало критическое значение F, равное 2.64, гипотеза не была отвергнута, т.к. регрессионная модель значима на уровне 5% от уровня значимости.  Поскольку оба рассчитанных интервала не включали ноль, гипотеза была принята, т.к. коэффициенты значительно отличались от нуля.
Недостаток статьи заключается в том, что не представлена возможность альтернативных вариантов решения, которые могут быть целесообразны в данном случае.
Оценка параметров регрессионной модели методом наименьших квадратов в Excel Т.С. Каграманян
Метод наименьших квадратов заключается в методе оценки параметров регрессионных моделей. Достоинством метода заключается в статистических свойствах МНК оценок (при выполнении предпосылок ГауссаМаркова – несмещенность и эффективность), простота математических выводов и практической реализации. МНК решает задачу «наилучшего» приближения выборочных данных. Смысл «наилучшего» приближения определяется выбором критерия. В методе наименьших квадратов – это сумма квадратов отклонений (остатков).
В статье для проведения расчетов по линейному методу МНК использовалась программа Microsoft Excel (входит в программный пакет Microsoft Office).
Каждая из функций будет принимать два аргумента, разделяемых знаком точка с запятой «;». Каждый из аргументов будет определять диапазон ячеек, в котором находятся значения зависимой и независимой переменных. Диапазоны должны быть одинаковой формы (вектор-строка или вектор-столбец одинаковой длины). В более общем виде линейный МНК может быть реализован с помощью встроенной функции, которая производит вычисления коэффициентов линейной регрессии и дополнительно рассчитывает ряд статистических показателей. Вычисленные коэффициенты регрессии и статистики возвращаются в виде массива чисел. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива
Преимущества статьи заключаются в том, что наиболее просто показаны вычисления коэффициентов линейной регрессионной модели, что подтверждает наглядность.
Недостаток статьи заключается в том, что не показаны, какие ограничения для метода существуют в рамках исследования.
Аппроксимация экспериментальных точек полиномиальной функцией методом наименьших квадратов

. Швалёва А.В.
В современном мире при изучении «Математической статистики» часто прибегают к обработке полученных экспериментальных данных. В статье рассмотрена возможность компьютерных программ в описании (аппроксимации) зависимости, которая представлена в виде набора чисел аналитической функцией. Аппроксимация зависимости, которая представлена в виде набора чисел аналитической функцией, решается в разделе математической статистики «Регрессионный анализ».
В статье рассматривалась аппроксимация только полиномами первой, второй и третьей степенями. Различна регрессию двух видов: парную и множественную. Разница между ними в количестве независимых переменных. В природе имеет место исключительно множественная регрессия, так как нельзя ограничить внешнее влияние на какое-то явление строго одним фактором.
Также в статье используют Microsoft Excel – является широко распространенной компьютерной программой, с помощью которой производятся расчеты, составляются таблицы и диаграммы, вычисляются простые и сложные функции. Для того чтобы построить полином первой степени (парную линейную регрессионную модель) зависимости временного сопротивления от химического состава нужно записать два массива значений зависимой и независимой переменных.
В статье при построении множественной регрессии потребовался «Пакет анализа», который является довольно мощным инструментом в помощь аналитику.
Статья полезна тем, что описывает инструментарий, который позволяет рассчитывать параметры регрессии по тому же методу наименьших квадратов, всего в несколько кликов. Подробность выполняемых действий – преимущество статьи. В статье показано, что в активном окошке инструмента Анализа данных из списка возможностей ищется и выбирается Регрессия (здесь нужно указать интервалы исходных данных, а именно описываемого параметра (y) и влияющих на него факторов (xi))
Таким образом, в статье рассчитана линейная множественная регрессионная модель, которая для исходных данных, используемых в нашем исследовании, выглядит именно так.
В статье есть недостаток, заключающийся в том, что не представлены недостатки и ограничения используемых методов.
Простое доказательство робастности метода наименьших квадратов с урезанием для линейной регрессионной модели. Шведов А.С.
В статье исследуется классическая линейная регрессионная модель, где остатки предполагаются распределенными нормально. Однако реальные данные редко в точности соответствуют предположениям классической модели. При этом даже единственное резко отличающееся наблюдение может очень сильно повлиять на оценку параметров регрессии.
В статье исследуется один из методов робастной регрессии с высокой пороговой точкой, который называется метод наименьших квадратов с урезанием. В статье представлено новое доказательство теоремы о величине пороговой точки для этого метода, значительно более простое, чем оригинальное доказательство.
Метод наименьших квадратов (МНК), который является наиболее распространенным методом построения регрессионных зависимостей, имеет низкую пороговую точку. Параметр регрессии можно изменить сколь угодно сильно, изменив всего одну точку в наборе наблюдений.
В статье показано, что МНК с урезанием может быть применен для практического построения регрессионных зависимостей лишь в сочетании с другими алгоритмами.
Одним из распространенных методов построения робастных оценок для параметров регрессии является метод ММ-оценивания. Построение оценки этим методом состоит из трех этапов. На первом этапе была построена оценка параметров регрессии некоторым методом с высокой пороговой точкой. На втором этапе с использованием этих параметров была построена M-оценка для масштаба. На третьем этапе с использованием найденного значения м ас-штаба строится M-оценка для параметров регрессии (отсюда использование двух букв «М» в названии метода). Было доказано, что пороговая точка при ММ-оценивании параметров регрессии асимптотически равна 0,5.
Преимущества статьи заключаются в том, что представлена проблема робастности, которая тесно связана проблема наличия тяжелых хвостов у распределения вероятностей для ошибок регрессии. Следовательно, большие выбросы, которые маловероятны при нормальном распределении ошибок, становятся вероятными при распределениях с тяжелыми хвостами.
Недостаток статьи заключается в том, что не представлена возможность альтернативных вариантов решения, которые могут быть целесообразны в данном случае.
Тема: «Мультиколлинеарность факторов»
Оценка и прогнозирование уровня финансовой устойчивости отечественных сельскохозяйственных предприятий как эффективный метод укрепления их финансовой безопасности. Шевчук Е.Д.
В статье была представлена разработанная и апробированная современная модель для оценки финансовой устойчивости предприятий. Приведены мероприятия повышения ее уровня