Проблема группового выбора и математический анализ

Под групповым выбором обычно понимается сведение различных индивидуальных мнений о порядке предпочтения рассматриваемых объектов в единое «коллективное» предпочтение.
В настоящее время математическому анализу подвергаются в основном вопросы, связанные не с тем, как происходит или должен происходить групповой выбор, но с тем, какой выбор «справедлив» или «разумен» с каких-либо точек зрения.
Такой взгляд на проблему группового выбора позволяет трактовать ее как совершенно общую проблему «разумного» перехода от заданных «индивидуальных наборов данных» к единому компактному «групповому набору данных». При этом «индивидуумы» и их «данные» могут иметь самую разную природу.
Типичные ситуации группового выбора: распределение конкурсной комиссией поощрений для совокупности представленных на конкурс проектов (произведений искусства); обсуждение и согласование нескольких альтернативных законопроектов (резолюций) законодательным собранием; ранжирование группой экспертов образцов новых промышленных изделий по перспективности их внедрения.
В простейшем случае предпочтение может быть задано упорядочением (ранжированием) объектов по убыванию их предпочтительности. Если же поддается оценке и относительная интенсивность f(а) предпочтительности каждого объекта а, то предпочтение задается функцией f, отображающей множество объектов А в множество чисел. Если, например, возможны три варианта а, b и с распределения капиталовложений между двумя проектами, то предпочтение одного из экспертов может быть выражено ранжированием (b, а, с), показывающим, что b - наиболее, а с - наименее предпочтительное распределение. Если эксперт сумеет количественно выразить свое предпочтение, оно может быть задано, например, такой функцией: f(b) = 0,6; f(a) = 0,3; f(с) = 0,1, показывающей, что b вдвое более желательно, чем а, и вшестеро - чем с.
Проблема группового выбора, таким образом, – это проблема агрегирования индивидуальных предпочтений f1, f2, … , fn (n - число индивидуумов) в единое (групповое) предпочтение f.
Такое понимание несколько не согласуется с интуитивным. Обычно подразумевается, что групповой выбор состоит в указании наиболее предпочтительного объекта, но не упорядочения всех объектов по степени предпочтения. Например, эксперты должны рекомендовать только один из вариантов распределения капиталовложений. Однако можно считать, что выбор объекта эквивалентен указанию отношения предпочтения, при котором этот объект является наиболее предпочитаемым, а остальные – наименее предпочитаемыми. В этом смысле интуитивное понимание охватывается приведенной выше формулировкой.
В реальных ситуациях группового выбора итоговое решение зависит от огромного числа трудноуловимых факторов, таких, например, как эмоциональное состояние членов экспертной комиссии во время выработки решения. Даже порядок выступлений в дискуссии может существенно повлиять на результат. В настоящее время не существует достаточно общих «разумных» концепций того, как происходит процесс группового выбора.
Это предопределяет относительную бедность математических моделей теории группового выбора. В основном логическому анализу поддается вопрос не о том, как происходит процесс группового выбора, а о том, какими свойствами должен (или не должен) обладать результат этого процесса: какой выбор справедлив, какой нет, какой разумен, какой нет и т. д.
Такой подход, в терминах «что такое хорошо и что такое «плохо», обычно называют нормативным, в отличие от описательного, дескриптивного подхода. В зарубежной литературе проблема группового выбора часто трактуется как проблема нормативной экономики: каким образом целесообразно объединить индивидуальные предпочтения членов общества в единое «общественное» предпочтение или, как еще говорят, функцию общественного благосостояния.
Обеднение теории за счет отказа от моделирования реального поведения членов группы при выработке решения приводит к высокой общности терминологии группового выбора.
В частности, она может быть использована применительно к проблеме построения компромиссного критерия оптимальности по заданному набору критериев, характеризующих, скажем, функционирование какой-либо экономической или технической системы. Действительно, пусть рассматриваемая система имеет множество состояний А, причем «качество» каждого состояния a ϵ А описывается различными показателями fi (a) (i = 1, …, n). Эти показатели часто бывают противоречивыми в том смысле, что улучшение состояния по одному из них приводит к ухудшению значений остальных

. Например, увеличение объема выпуска продукции f1 данной системы может привести к повышению себестоимости f2.
Если состояния системы рассматривать в качестве объектов, а показатели fi – в качестве оценок «индивидуальных» предпочтений, то «групповое» предпочтение f, очевидно, соответствует комплексному критерию, построенному на основе данных показателей.
Не слишком ли мы усложняем проблему группового выбора? Вот, например, оценка участников соревнований по фигурному катанию на коньках ни у кого возражений не вызывает. В качестве групповой оценки спортсмена берется среднее арифметическое всех (кроме двух крайних) индивидуальных оценок членов жюри. Чем, собственно, не хорош такой метод решения проблемы группового выбора – такой вопрос часто возникает у тех, кто первый раз слышит о такой проблеме.
Да, возражать против метода оценивания фигуристов трудно. Но не нужно забывать, что судьи имеют весьма детально разработанную, довольно четко сформулированную систему начисления «штрафов» за различные погрешности в исполнении упражнений. Это обеспечивает значительную надежность, устойчивость и похожесть индивидуальных оценок жюри (при условии их объективности). Ситуация здесь весьма напоминает процедуру «согласования» нескольких результатов измерения длины какого-либо предмета с помощью взятия среднего арифметического значения. Однако реальные ситуации группового выбора могут отличаться от оценки выступлений спортсменов по крайней мере в двух отношениях.
Во-первых, члены группы могут придерживаться существенно разных и даже противоречивых точек зрения в своих оценках (и использовать, явно или неявно, разные принципы и системы начисления «очков».
Вторая причина затруднений при групповом выборе связана с проблемой соизмерения предпочтений различных индивидуумов.
Рассмотрим виды оценок при групповом выборе:
1. Количественные показатели. О количественном выражении показателя (или предпочтения) обычно говорят в том случае, когда его значения (оценки) имеет смысл сравнивать - на сколько или во сколько раз одна оценка больше другой.
2. Оценки в балльной и ранговой шкалах. В отличие от количественных оценок, соответствующих, как правило, объективным измерениям объективных показателей, балльные оценки обычно характеризуют субъективные мнения.
3. Ранжирование. Под ранжированием понимается представление объектов в виде последовательности в соответствии с убыванием их предпочтительности. При этом допускается указание на равноценность некоторых рядом расположенных объектов.
4. Попарное сравнение. Этот способ оценки состоит в указании более предпочтительного объекта в каждой паре объектов (иногда разрешается также заявлять, что они оба равноценны или несравнимы).
Метод попарного сравнения применяется обычно, чтобы выявить предпочтения экспертов «в чистом виде». Считается, что качественное сравнение двух объектов сделать гораздо легче, чем выражать свои предпочтения в балльной или ранговой шкале; этот метод оценки не навязывает эксперту априорных условий, в отличие от других.
Все они задают бинарное отношение предпочтения Р на множестве рассматриваемых объектов А. Попарные сравнения образуют Р явным образом, а остальные четыре вида порождают Р правилом: (a, b) ϵ P ↔ f(a) f(b), если речь идет о строгом предпочтении, или (a, b) ϵ P ↔ f(a) ≥ f(b), если предпочтение нестрогое.
Все рассмотренные виды оценок, кроме попарных сравнений, приводят к весьма узкому классу отношений: и строгие предпочтения, и неразличимость должны быть транзитивны. Между тем на практике нетранзитивность в попарных сравнениях встречается довольно часто как в отношении строгого предпочтения, так и в отношении неразличимости.
Вообще, нетранзитивность в предпочтениях характерна для суждений об объектах, к которым оценивающий субъект довольно безразличен. Наоборот, если выбор затрагивает интересы субъекта, так что ему приходится уточнять свою точку зрения, — превалирует транзитивность в предпочтениях.
Основное допущение фон Неймана и Моргенштерна состоит в том, что индивидуум может сравнивать по предпочтению не только сами объекты, но иих вероятностные смеси, лотереи. Под вероятностной смесью
,
понимается лотерея, в которой вероятностью р выбирается объект а, и с дополнительной вероятностью 1-р — объект 6. Такую смесь будем называть также р-смесью (а, b).
Экспертное оценивание. Основываясь на изложенных моделях, можно предложить большое количество конкретных процедур экспертного оценивания. Опишем некоторые наиболее употребительные способы оценки, опуская по возможности многочисленные детали, связанные с практической организацией опроса.
1) Непосредственная оценка в выбранной балльной шкале, скажем, от —5 до 5