Заряженная частица, прошедшая из состояния покоя ускоряющую разность потенциалов , влетает в плоский вакуумный конденсатор, в котором создано однородное электростатическое поле напряженностью . Вектор скорости частицы перпендикулярен линиям вектора напряженности поля. Длина обкладок конденсатора , расстояние между обкладками . После пролета конденсатора частица попадает в однородное магнитное поле с индукцией , угол между вектором скорости частицы и вектором индукции равен α.
Требуется найти:
скорость частицы перед влетом в конденсатор;
разность потенциалов между обкладками конденсатора;
электроемкость конденсатора при условии, что обкладки его - квадратные;
смещение частицы от прямолинейной траектории в момент вылета из конденсатора;
кинетическую энергию частицы (в Дж и эВ) и ее скорость в момент вылета из конденсатора;
период обращения частицы при ее движении в магнитном поле;
радиус и шаг спирали траектории частицы в магнитном поле.
Таблица 5.
Номер варианта частица
3 300 3000 6 6 50 300 α -частица
Дано:
α -частица
U = 300 В
Е = 3000 В/м
d = 6 см = 0,06 м
l = 6 см = 0,06 м
В = 50 мТл = 5010-3 Тл
α = 300
Ответ
1) v0=1,7∙105мс; 2) Δ=180 B; 3) C=5,31∙10-13 Ф; 4) ∆у=9 мм; 5) v=1,78∙105мс; Ек=10,52∙10-17 Дж=657,4 эВ; 6) Т=2,6 мкс; 7) R=3,07 см, h=0,4 м
Проверка размерности:
[v0]=Кл∙Вкг=Кл∙ДжКлкг=Н∙мкг=кг∙мс2∙мкг=м2с2 =м/с
Δ=Вм∙м=В
C=Фм∙м2м=Ф
∆у=Кл∙Вмкг∙ммс2=Кл∙ДжКлкг∙м∙с2=Н∙мкг∙м∙с2=кг∙мс2кг∙с2=м
v=qm2U +E2l22U=КлкгВ +(Вм)2∙м2В=Клкг∙ДжКл=Н∙мкг==кг∙мс2∙мкг=м2с2= м/с
Т=кгКл∙Тл=кгКл∙НА∙м=кгА∙с∙кг∙мс2А∙м=с
R=кг∙мсКл∙Тл=кг∙мсА∙с∙НА∙м=кг∙мсс∙кг∙мс2м=м
h=мс∙кгКл∙Тл=мс∙кгА∙с∙НА∙м=мс∙кгс∙кг∙мс2м=м
Найти: 1) v0; 2) Δ; 3) C; 4) Δy; 5) E, v; 6) T; 7) R, h.
Решение
Заряженная частица, которая проходит из состояния покоя ускоряющую разность потенциалов , по закону сохранения энергии имеет кинетическую энергию
mv022=qU
Откуда её скорость перед влетом в конденсатор равна
v0=2qUm,
где заряд α -частицы q=2e=3,2∙10-19, масса m=6,64∙10-27 кг
v0=2∙3,2 ∙10-19∙3006,64∙10-27=1,7∙105мс
Разность потенциалов между обкладками конденсатора равна Δ=Ed
Δ=3000∙0,06=180 B
электроемкость плоского конденсатора равна
C=εε0 Sd, где площадь обкладок S=l2,
ε0 =8,85∙10-12Фм-электрическая постоянная
ε=1-диэлектрическая проницаемость среды-воздух
C=εε0 l2d
C=1∙8,85∙10-12∙0,0620,06=5,31∙10-13 Ф
смещение частицы от прямолинейной траектории в момент вылета из конденсатора;
Так как сила F, действующая на частицу в электрическом поле, равна F=qE (1)
то движение частицы вдоль оси ОХ будет происходить с постоянной скоростью, а вдоль оси OY – равноускоренно
. Тогда, кинематические уравнения движения электрона можно записать в виде
x=v0t, y=12ayt2 (2)
где v0 – скорость частицы при влете в конденсатор; ау – проекция ускорения электрона на ось OY из 2 закона Ньютона равно
ay=Fm=qEm, (3)
Длина конденсатора равна l , то уравнения движения (2) частицы в момент вылета из конденсатора примут вид
l=v0t, ∆y=12ayt2 (4) , где t – время движения электрона в конденсаторе; ∆y – смещение электрона по оси OY за этот промежуток времени.
Тогда,
∆y=12ayt2=12qEm(lv0)2
∆y=3,2 ∙10-19∙30002∙6,64∙10-27∙0,061,7∙1052=0,009 м=9мм
по теореме Пифагора скорость частицы при вылете из конденсатора равна
v=vx2+vy2,
где проекция скорости на оси равны vx=v0=2qUm,
vy=ayt=qEm∙l2qUm=qElm∙m2qU=El∙q2Um
тогда
v=(2qUm)2 +(El∙q2Um)2=2qUm +E2l2q2Um=qm2U +E2l22U,
v=3,2 ∙10-196,64∙10-27∙2∙300 +30002∙0,0622∙300=1,78∙105мс
Кинетическая энергия частицы равна
Ек=mv22
Ек=6,64∙10-27∙(1,78∙105)22=10,52∙10-17 Дж=657,4 эВ
В магнитном поле на заряженную частицу действует сила Лоренца
F=qvBsin α, которая сообщает заряженной частице ускорение
a=v2R, v=vsinα
По 2 закону Ньютона F=ma, тогда
qvBsin α=mv2sin2αR, откуда
Радиус траектории движения
R=mvsin αqB
Период вращения частицы равен
Т=2πRv= 2πmvsin αqBvsinα=2πmqB
Т=2∙3,14∙6,64∙10-273,2 ∙10-19∙50∙10-3=2,6∙10-6c=2,6 мкс
радиус и шаг спирали траектории частицы в магнитном поле.
R=mvsin αqB
R=6,64∙10-27∙1,78∙105∙sin 3003,2 ∙10-19∙50∙10-3=0,0307 м=3,07 см
Шаг спирали равен
h=v||T=vcosα2πmqB
h=1,78∙105∙cos300∙2∙3,14∙6,64∙10-273,2 ∙10-19∙50∙10-3=0,4 м
Ответ: 1) v0=1,7∙105мс; 2) Δ=180 B; 3) C=5,31∙10-13 Ф; 4) ∆у=9 мм; 5) v=1,78∙105мс; Ек=10,52∙10-17 Дж=657,4 эВ; 6) Т=2,6 мкс; 7) R=3,07 см, h=0,4 м
Проверка размерности:
[v0]=Кл∙Вкг=Кл∙ДжКлкг=Н∙мкг=кг∙мс2∙мкг=м2с2 =м/с
Δ=Вм∙м=В
C=Фм∙м2м=Ф
∆у=Кл∙Вмкг∙ммс2=Кл∙ДжКлкг∙м∙с2=Н∙мкг∙м∙с2=кг∙мс2кг∙с2=м
v=qm2U +E2l22U=КлкгВ +(Вм)2∙м2В=Клкг∙ДжКл=Н∙мкг==кг∙мс2∙мкг=м2с2= м/с
Т=кгКл∙Тл=кгКл∙НА∙м=кгА∙с∙кг∙мс2А∙м=с
R=кг∙мсКл∙Тл=кг∙мсА∙с∙НА∙м=кг∙мсс∙кг∙мс2м=м
h=мс∙кгКл∙Тл=мс∙кгА∙с∙НА∙м=мс∙кгс∙кг∙мс2м=м
Найти: 1) v0; 2) Δ; 3) C; 4) Δy; 5) E, v; 6) T; 7) R, h.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
