Записать тензор малой деформации, разложить его на шаровой тензор и девиатор.
2. Вычислить значения главных компонентов деформации, интенсивности деформации, характеристик вида деформированного состояния в точке с координатами (x, y, z), показать схему деформации. Построить треугольник В.М. Розенберг.
Исходные данные
Поле перемещений: ux,uy,uz в виде функций от координат; координаты точки (x, y, z).
x y z ux
uy
uz
0,02 0,01 0,00 0,01x+0,03y-0,04z
0,03x-0,06y
0,8xz
Решение
Относительные линейные деформации вдоль координатных осей:
εx=∂ux∂x=0,01; εy=∂uy∂y=-0,06; εz=∂uz∂z=0,8x=0,8∙0,02=0,016;
Относительные угловые деформации:
γxy=∂ux∂y+∂uy∂x=0,03+0,03=0,06;
γyz=∂uy∂z+∂uz∂y=0+0=0;
γzx=∂uz∂x+∂ux∂z=0,8z-0,04=0,8∙0,00-0,04=-0,04
Тензор малой деформации:
Tε=εx12γyx12γzx12γxyεy12γzy12γxz12γyzεz=0,010,03-0,020,03-0,060-0,0200,016.
Разложение тензора малой деформации: Tε=Tε0+Dε
Шаровой тензор:
Tε0=εср000εср000εср=-0,0113000-0,0113000-0,0113,
Девиатор малой деформации:
Dε=εx-εср12γyx12γzx12γxyεy-εср12γzy12γxz12γyzεz-εср=0,02130,03-0,020,03-0,04870-0,0200,0273,
где средняя линейная деформация:
εср=εx+εy+εz3=0,01-0,06+0,0163=-0,0113.
Интенсивность деформации:
εi=23εx-εy2+εy-εz2+εz-εx2+32γxy2+γyz2+γzx2=
=230,072+(-0,076)2+0,0062+320,062+02+(-0,04)2=0,0641
Угол вида малой деформации βε:
cos3βε=1εi34εxεyεz-εxγyz2-εyγzx2-εzγxy2+γxyγyzγzx=
=10,06413*4∙0,0213∙-0,0487∙0,0273-0,0213∙02--0,0487∙-0,042-0,0273∙0,062+0,06∙0∙(-0,04)=-0,5074,
где εx=εx-εcp=0,0213; εy=εy-εcp=-0,0487;
εz=εz-εcp=0,0273;
βε=arccos(-0,5074)3=120,493≈40,16°;
0°≤βε≤60°.
Главные деформации:
ε1=εср+εicosβε=-0,0113+0,0641∙cos40,16°=0,03769;
ε2=εср+εisinβε-30°=-0,0113+0,0641∙sin10,16°≈0;
ε3=εср-εicos60°-βε=-0,0113-0,0641∙cos19,84°=-0,0716.
Показатель вида малой деформации:
vε=2ε2-ε1-ε3ε1-ε3=2∙0-0,03769-(-0,0716)0,03769-(-0,0716)=0,3104.
Зависимость показателей вида деформации:
vε=tan(βε-30°)tan30°=tan(40,16°-30°)tan30°=0,3104.
Графическое представление деформированного состояния – треугольник В.М
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
