Задание на КР.
Задание предполагает, что технологический параметр находится в рабочем диапазоне. Это гарантирует нормальное протекание технологического процесса.Результаты равноточных измерений получены для одной точки рабочего диапазона. Из результатов наблюдений исключены известные систематические погрешности.
Температура газа находится в пределах от 278.3 до 281.8 °С. Результаты равноточных измерений следующие:
280.20 279.97 279.88 280.03 279.82 279.85 280.14
280.23 280.03 280.20 279.88 279.82 279.76 280.11
280.43 279.47 280.00 279.97 280.03 280.08
Требуется:1. Оценить точность результатов измерений;
2. Определить класс точности термометра;
3. Выбрать измерительный прибор.
Решение
Исходные данные и результаты вычислений представлены в таблице 1.
Таблица 1. Расчет точности результатов измерений
№ Температура, ℃
Xi-X
min, max Xi-X2
Xi-X>ZP*2*S
Xi-X>±3*S
1 280,20 0,205
0,0420 0,205 < 0,484 0,205 < 0,621
2 279,97 -0,025
0,0006 0,025 < 0,484 0,025 < 0,621
3 279,88 -0,115
0,0132 0,115 < 0,484 0,115 < 0,621
4 280,03 0,035
0,0012 0,035 < 0,484 0,035 < 0,621
5 279,82 -0,175
0,0306 0,175 < 0,484 0,175 < 0,621
6 279,85 -0,145
0,0210 0,145 < 0,484 0,145 < 0,621
7 280,14 0,145
0,0210 0,145 < 0,484 0,145 < 0,621
8 280,23 0,235
0,0552 0,235 < 0,484 0,235 < 0,621
9 280,03 0,035
0,0012 0,035 < 0,484 0,035 < 0,621
10 280,20 0,205
0,0420 0,205 < 0,484 0,205 < 0,621
11 279,88 -0,115
0,0132 0,115 < 0,484 0,115 < 0,621
12 279,82 -0,175
0,0306 0,175 < 0,484 0,175 < 0,621
13 279,76 -0,235
0,0552 0,235 < 0,484 0,235 < 0,621
14 280,11 0,115
0,0132 0,115 < 0,484 0,115 < 0,621
15 280,43 0,435 max 0,1892 0,435 < 0,484 0,435 < 0,621
16 279,47 -0,525 min 0,2756 0,525 > 0,484 0,525 < 0,621
17 280,00 0,005
0,0000 0,005 < 0,484 0,005 < 0,621
18 279,97 -0,025
0,0006 0,025 < 0,484 0,025 < 0,621
19 280,03 0,035
0,0012 0,035 < 0,484 0,035 < 0,621
20 280,08 0,085
0,0072 0,085 < 0,484 0,085 < 0,621
5599,9 3,07
0,8145 m=1 грубых промахов нет
Среднее арифметическое Х результата измерения вычисляем по формуле:
X=1n⋅i=1nXi, (1)где Xi - i-й результат наблюдения; n - число единичных наблюдений.
В соответствии с исходными данными получаем:
X=1n⋅i=1nXi=120⋅i=120Xi=5599,920=279,995 ℃.
Среднее квадратическое отклонение S результата единичного наблюдения, взятого из совокупности таких измерений, вычисляют по формуле:
S=1n-1⋅i=1n(Xi-X)2. (2)
Среднее квадратическое отклонение S(X) результата измерения является параметром функции распределения и подсчитывается по формуле:
SX=Sn, (3)Найдём эти параметры в условиях нашего задания:
S=(Xi-X)2n-1=0,814520-1=0,207 ℃;
SX=Sn=0,20720=0,046 ℃.
Доверительные границы (без учета знака) случайной погрешности измерения для результатов небольшого числа наблюдений принадлежащих нормальному распределению, находятся по формуле:
ε=tp⋅S(X),(4)
где tp - коэффициент Стьюдента, который, в свою очередь, в зависимости от доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдения n находят по таблице 2.
В нашем задании в соответствии с указаниями следует принять доверительную вероятность равной P=0,95
. По данным таблицы 2 ей соответствует при числе n-1=20-1=19 значение коэффициента Стьюдента tp=2,095.
Тогда доверительные границы:
ε=tp⋅SX=2,095⋅0,046=0,096 ℃.
Таблица 2. Значения коэффициента tp распределения Стьюдента
Число результатов
наблюдений
n-1 Доверительная
вероятность Р Число результатов
наблюдений
n-1 Доверительная
вероятность Р
0.9 0.95 0.99
0.9 0.95 0.99
2 2.92 4.30 9.92 12 1.78 2.18 3.06
3 2.35 3.18 5.84 14 1.76 2.15 2.98
4 2.13 2.78 4.60 16 1.75 2.12 2.92
5 2.02 2.57 4.03 18 1.73 2.10 2.88
6 1.94 2.48 3.71 20 1.72 2.09 2.85
7 1.90 2.37 3.50 22 1.72 2.07 2.82
8 1.86 2.31 3.36 25 1.71 2.06 2.79
9 1.83 2.26 3.25 30 1.70 2.04 2.75
10 1.81 2.32 3.17 1.65 1.96 2.58
Соответствующий результат измерения определяется следующим образом:
X=X±εn,P. (5)Имеем:
X=X±εn,P=280,00±0,10 ℃ (20; 0,95).
Проверка закона распределения
Правильность выбора нормального распределения, характеризующего рассеяние результатов наблюдений, проверяют при n50 по составному критерию.
По критерию 1
Вычисляют отношение d по формуле:
d=i=1nXi-Xn⋅S*, (6)
где S* - смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле:
S*=i=1nXi-X2n. (7)
Результаты измерений можно считать распределенными нормально, если dq1<d(1-q), где dq1, d(1-q1) - квантили распределения, получаемые из таблицы 3 по n, q1, (1-q1), причем q1 - заранее выбранный уровень значимости критерия (для доверительной вероятности Р=0,95 выбираем 5%).
Таблица 3. Статистика d
n (1-q1)100% q1100%
1% 5% 95% 99%
16 0.9137 0.8884 0.7236 0.6829
21 0.9001 0.8768 0.7304 0.6950
26 0.8901 0.8686 0.7360 0.7041
31 0.8826 0.8625 0.7404 0.7220
36 0.8769 0.8575 0.7440 0.7167
Производим расчеты:
S*=0,814520=0,202 ℃.
d=3,0720⋅0,202=0,7599.
dq1=0,7290<=0,7599<d(1-q1)=0,8791.
Неравенство выполняется
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
