Задание к выполнению расчётно-графической работы

Упростим схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы ветвей эквивалентными.
R4=R4'+R4''=67+72=139 Ом;
R5=R5'+R5''=65+30=95 Ом;
R6=R6'∙R6''R6'+R6''=57∙5057+50=26,636 Ом.
Упрощенная схема показана на рисунке 2.
Рисунок 2 – Расчётная схема к методу непосредственного применения законов Кирхгофа и методу контурных токов
2) Составим на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях схемы.
Расставим направления токов. Количество токов в схеме равно 6, значит и уравнений надо 6.
Количество узлов в схеме 4, значит по первому закону Кирхгофа нужно 3 уравнения.
узел a: -I3-I4+I5=0;узел b: -I1+I2+I4=0;узел c: I1+I3-I6=0.
Количество независимых контуров 3. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур 1: I4∙R4+I1∙R1-I3∙R3=E1-E3;контур 2: I5∙R5+I3∙R3+I6∙R6=E3;контур 3: -I1∙R1-I2∙R2-I6∙R6=-E1+E2.
Объединим полученные системы в одну.
-I3-I4+I5=0;-I1+I2+I4=0;I1+I3-I6=0;I4∙R4+I1∙R1-I3∙R3=E1-E3;I5∙R5+I3∙R3+I6∙R6=E3;-I1∙R1-I2∙R2-I6∙R6=-E1+E2.
3) Определим токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Задаёмся условно-положительными направлениями контурных токов (рис. 1).
Составляем систему уравнений, показывающую взаимосвязь между исходными и контурными токами.
I1=Iк1-Iк3;I2=-Iк3;I3=-Iк1+Iк2;I4=Iк1;I5=Iк2;I6=Iк2-Iк3.
Составляем систему уравнений по методу контурных токов:
контур 1: Iк1∙R1+R3+R4-Iк2∙R3-Iк3∙R1=E1-E3;контур 2: -Iк1∙R3+Iк2∙R3+R5+R6-Iк3∙R6=E3;контур 3: -Iк1∙R1-Iк2∙R6+Iк3∙R1+R2+R6=-E1+E2.
Подставляем в полученную систему численные значения сопротивлений и ЭДС источников:
Iк1∙15+97+139-Iк2∙97-Iк3∙15=29-30;-Iк1∙97+Iк2∙97+95+26,636-Iк3∙26,636=30;-Iк1∙15-Iк2∙26,636+Iк3∙15+74+26,636=-29+22.
Iк1∙251-Iк2∙97-Iк3∙15=-1;-Iк1∙97+Iк2∙218,636-Iк3∙26,636=30;-Iк1∙15-Iк2∙26,636+Iк3∙115,636=-7.
Для решения системы уравнений воспользуемся методом Крамера . Вычисляем главный определитель системы:
Δ=251-97-15-97218,636-26,636-15-26,636115,636=251∙218,636∙115,636-97∙-26,636∙-15-15∙-97∙-26,636--15∙218,636∙-15-251∙-26,636∙-26,636--97∙-97∙115,636=4953000,551.
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=-1-97-1530218,636-26,636-7-26,636115,636=-1∙218,636∙115,636+30∙-26,636∙-15-7∙-97∙-26,636--7∙218,636∙-15--1∙-26,636∙-26,636-30∙-97∙115,636=282870,505;
Δ2251-1-15-9730-26,636-15-7115,636=251∙30∙115,636-97∙-7∙-15-15∙-1∙-26,636--15∙30∙-15-251∙-7∙-26,636--97∙-1∙115,636=795385,645;
Δ3=251-97-1-97218,63630-15-26,636-7=251∙218,636∙-7-97∙30∙-1-15∙-97∙-26,636--15∙218,636∙-1-251∙30∙-26,636--97∙-97∙-7=-79927,355.
По формулам Крамера определяем контурные токи.
Iк1=Δ1Δ=282870,5054953000,551=0,057 А;
Iк2=Δ2Δ=795385,6454953000,551=0,161 А;
Iк3=Δ3Δ=-79927,3554953000,551=-0,016 А.
Находим исходные токи:
I1=Iк1-Iк3=0,057--0,016=0,073 А;I2=-Iк3=--0,016=0,016 А;I3=-Iк1+Iк2=-0,057+0,161=0,103 А;I4=Iк1=0,057 А;I5=Iк2=0,161 А;I6=Iк2-Iк3=0,161--0,016=0,177 А.
4) Определим токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Заземлим узел d и примем его потенциал равным нулю (рис. 3). Следовательно, необходимо составить три уравнения для нахождения потенциалов узлов a, b, c.
Рисунок 3 – Расчётная схема для метода узловых потенциалов
Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов.
1R3+1R4+1R5∙φa-1R4∙φb-1R3∙φc=-E3∙1R3;-1R4∙φa+1R1+1R2+1R4∙φb-1R1∙φc=-E1∙1R1-E2∙1R2;-1R3∙φa-1R1∙φb+1R1+1R3+1R6∙φc=E1∙1R1+E3∙1R3.
Подставляем в полученную систему численные значения сопротивлений и ЭДС источников:
197+1139+195∙φa-1139∙φb-197∙φc=-30∙197;-1139∙φa+115+174+1139∙φb-115∙φc=-29∙115-22∙174;-197∙φa-115∙φb+115+197+126,636∙φc=29∙115+30∙197.
0,028∙φa-0,0072∙φb-0,0103∙φc=-0,3093;-0,0072∙φa+0,0874∙φb-0,0667∙φc=-2,2306;-0,0103∙φa-0,0667∙φb+0,1145∙φc=2,2426.
Для решения системы уравнений воспользуемся методом Крамера