Задана схема электрической цепи

Дано: E=100 В, R1=15 Ом, R2=4 Ом, L=15 мГн, С=360 мкФ. Найти: iL.
Классический метод
1. Обозначим на схеме токи, узлы, контура и направления их обхода (рис.1.2)
Рис.1.2. Расчетная схема
Система уравнений по законам Кирхгофа после коммутации:
i-i1-i3=0-i+i2+i4=0i1R1+i2R2=ELdi3dt-i1R1=0uC-i2R2=0
2. Изобразим схему до коммутации (рис.1.3):
Рис.1.3. Схема цепи до коммутации
Записываем независимые начальные условия:
i30+=i30-=0 A
uc0+=uc0-=100 B
4. Изобразим схему цепи после коммутации (рис.1.4):
Рис.1.4. Режим цепи после коммутации
5. Определяем параметры установившегося режима
iпр=iL=i3пр=i2пр=ER2=1004=25 A
uCпр=i2прR2=25∙4=100 В
6. Определим корни характеристического уравнения и вид свободной составляющей (рис.1.5):
Рис.1.5. Схема к определению характеристического уравнения
Эквивалентное сопротивление относительно точек разрыва:
Zp=R1∙LpR1+Lp+R2∙1pCR2+1pC=R1∙LpR2+1pC+R2∙1pCR1+LpR1+LpR2+1pC
Приравниваем к нулю, подставляем данные и получаем:
R1∙LpR2+1pC+R2∙1pCR1+Lp=0
Для избавления от дробей помножим выражение на множитель pC
R1∙LpR2pC+1+R2R1+Lp=0
R1R2LCp2+R1Lp+R2R1+R2Lp=0
15·4·0,015·360·10-6p2+15·0,015p+4·15+4·0,015p=0
3,24·10-4p2+0,285p+60=0
D=b2-4 ac=0,2852-4∙3,24·10-4·60=0,003465
p1,2=-b±D2a=-0,285±0,0034652∙3,24·10-4
p1=-348,97 p2=-530,65
Корни характеристического уравнения вещественные и различные, следовательно, переходный процесс будет апериодическим.
7. Свободная составляющая будет иметь вид
iсв=A1e-349t+A2e-531t
Полный ток
iL=i3=i3пр+i3св=25+A1e-349t+A2e-531t
8. С учетом начальных условий для t=0 запишем, что
i30+=iL0+=25+A1e-349t+A2e-531t=0
откуда при t=0
A1+A2=-25
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений для t=0+
i0+-i10+-i30+=0 (1)-i0++i20++i40+=0 (2)i10+R1+i20+R2=E (3)Ldi3dtt=0+-i10+R1=0 (4)uC0+-i20+R2=0 (5)
Из 5-го уравнения (5) получим, что
i20+=uC0+R2=1004=25 A
Подставляем это значение в (3) . Получим
i10+·15+25·4=100
i10+=0
Подставляя значение i10+=0 в уравнение (4), получим
Ldi3dtt=0+=0⟹di3dtt=0+=0L=0
Продифференцируем выражение для тока i3
di3dt=25+A1e-349t+A2e-531t'=-349A1e-349t-531A2e-531t
Запишем его для момента времени t=0+
di3dtt=0+=-348,97A1-530,65A2
Учтём полученное выше равенство di3dtt=0+=0 и получим второе уравнение для определения постоянных интегрирования A1 и A2. Решим систему:
A1+A2=-25-348,97A1-530,65A2=0
Из 1-го уравнения системы следует, что
A2=-25-A1
Подставляем это значение во 2-ое уравнение системы:
-348,97A1-530,65-25-A1=0
-348,97A1+13266,25+530,65A1=0
181,68A1=-13266,25
A1=-73,02
Подставляем полученное значение A1 в 1-ое уравнение системы
-73,02+A2=-25
A2=48,02
С учетом полученных значений постоянных интегрировании запишем закон изменения тока iL(на схеме рис.1.2 обозначен как i3):
iLt=i3t=25-73,02e-348,97t+48,02e-530,65t
Построим зависимость iL(t). Для этого определим диапазон времени, на промежутке которого следует изобразить график:
τ=1pmin=1348,97=2,866∙10-3 c=2,866 мс=0,002865 с
Время переходного процесса tп.п=5τ=0,01433 с
Рис.1.6. График переходного процесса
Операторный метод
1. Составляем операторную схему замещения (рис.1.6):
Рис.1.6. Операторная схема замещения
2