Задан случайный процесс xt=u(tk+m) Найти математическое ожидание

Находим характеристики случайной величины u. Параметр распределения a находим, используя условие нормировки:
-∞+∞fxdx=1
В нашем случае имеем:
0π/2asinudu=-acosu0π2=a a=1
Получили следующую плотность распределения случайной величины u:
fu=sinu;u∈0;π20; u∉0;π2
Математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины u находим по формулам:
Mx=-∞+∞xfxdx;Dx=-∞+∞x2fxdx-M(x)2
Т.е . в нашем случае имеем:
Mu=0π/2usinudu=sinu-ucosu0π2=1
Du=0π2u2sinudu-Mu2=dv=sinuduv=-cosut=u2dt=2udu=
=-u2cosu0π2=0+0π22ucosudu-1=dv=cosuduv=sinut=2udt=2du=
=2usinu0π2π-20π2sinudu-1=2cosu0π2+π-1=π-3
Тогда математическое ожидание случайного процесса xt:
mx(t)=Mut3+5=MuMt3+5=t3+5
Центрированный случайный процесс:
xt=xt-mxt=ut3+5-t3+5=t3+5u-1
Находим ковариационную функцию Kx(t1,t2):
Kxt1,t2=Mxt1xt2=Mt13+5u-1t23+5u-1=
=t13+5t23+5Mu-12=Mu-12=Mu-Mu2=Du=
=(π-3)t13+5t23+5
Находим характеристики производной случайного процесса yt=dxtdt:
-математическое ожидание:
myt=Mx'(t)=m'x(t)=(t3+5)'=3t2
- ковариационная функция:
Kytt1,t2=d2Kx(t1,t2)dt1 dt2=d2(π-3)t13+5t23+5dt1 dt2=9(π-3)t12t22
- дисперсия:
Dyt=Kytt,t=9(π-3)t4
Находим характеристики интеграла случайного процесса z(t)=0tx(s)ds:
-математическое ожидание:
mzt=0tMxsds=0t(s3+5)ds=s44+5s0t=t44+5t
- ковариационная функция:
Kzt1,t2=0t1ds10t2Kxs1,s2ds2=
=0t1ds10t2(π-3)s13+5s23+5ds2=
=π-3s144+5s10t1s244+5s20t2=π-3t144+5t1t244+5t2=
=π-3t14+20t1t24+20t216
- дисперсия:
Dzt=Kzt,t=π-3t4+20t216