Задан закон распределения двумерной случайной величины
X Y
1 3 4
2 0,20 0,15 0,05
4 0,10 0,11 0,14
5 0,08 0,05 0,12
Найти уравнение линейной средней квадратической регрессии Х на Y.
Решение
Уравнение линейной средней квадратической регрессии X на Y будем искать в виде
xy-x=rвσxσyy-y
Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений Y
PY=1=0,2+0,1+0,08=0,38
PY=3=0,15+0,11+0,05=0,31
PY=4=0,05+0,14+0,12=0,31
Напишем закон распределения Y
Y
1 3 4
pj
0,38 0,31 0,31
Контроль: pj=0,38+0,31+0,31=1
Сложив вероятности «по строкам», получим вероятности возможных значений X
PX=2=0,2+0,15+0,05=0,4
PX=4=0,1+0,11+0,14=0,35
PX=5=0,08+0,05+0,12=0,25
Закон распределения X
X
2 4 5
pi
0,4 0,35 0,25
Контроль: pi=0,4+0,35+0,25=1.
Найдем средние
x=xipi=2∙0,4+4∙0,35+5∙0,25=0,8+1,4+1,25=3,45
y=yjpj=1∙0,38+3∙0,31+4∙0,31=0,38+0,93+1,24=2,55
xy=xiyjpij=2∙1∙0,2+2∙3∙0,15+2∙4∙0,05+4∙1∙0,1+4∙3∙0,11+4∙4∙0,14+5∙1∙0,08+5∙3∙0,05+5∙4∙0,12=0,4+0,9+0,4+0,4+1,32+2,24+0,4+0,75+2,4=9,21
Найдем дисперсии
DX=x2-x2=xi2pi-x2=22∙0,4+42∙0,35+52∙0,25-3,452=1,6+5,6+6,25-11,9025=1,5475
DY=y2-y2=yj2pj-y2=12∙0,38+32∙0,31+42∙0,31-2,552=0,38+2,79+4,96-6,5025=1,6275
Найдем средние квадратичные отклонения
σx=DX=1,5475≈1,244
σy=DY=1,6275≈1,2757
Коэффициент корреляции
rxy=xy-x∙yσx∙σy=9,21-3,45∙2,551,244∙1,2757≈0,2599
Найти уравнение линейной средней квадратической регрессии Х на Y
xy-3,45=0,2599∙1,2441,2757∙y-2,55
Уравнение линейной средней квадратической регрессии Х на Y имеет вид
xy=0,2534y+2,8037
Ответ: xy=0,2534y+2,8037.
на новый заказ в Автор24.
