За длительный период эксплуатации технической системы было зафиксировано 118 отказов, распределение которых определено нормальным законом распределения. Определить технические характеристики надежности за время работы 10 лет: вероятность безотказной работы, частоту, интенсивность отказов.
Таблица 1 Исходные данные
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
t, года 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
n(t) 2 7 6 13 16 16 16 14 11 6 4 3 2 1 1
Решение
Нормальное распределение является двухпараметрическим, для его применения необходимо определить математическое ожидание (среднее значение) и среднеквадратическое отклонение.
Для этого приведенные статистические данные целесообразно представить в виде вспомогательной таблицы 2.
Для расчета параметров по статистическим данным, которые приведены в форме статистического ряда (табл.2) , используются следующие формулы.
Среднее значение показателя надежности определяется по формуле:
t =intic∙Pi , (1)
где tic – значение середины i –го интервала;
Pi - опытная вероятность в i –ом интервале
Значение опытной вероятностей в i-ом интервале определяется по формуле:
Pi = ni /N , (2)
где ni – количество отказов в i–м интервале
N – общее количество отказов , N=118
Таблица 2 – К расчету среднего значения
Номер интервала Середина
интервала,
tic Частота,
ni Опытная вероятность,
Pi = ni /N tic·Pi
1 3 2 0,017 0,05
2 3,5 7 0,059 0,21
3 4 6 0,051 0,20
4 4,5 13 0,110 0,50
5 5 16 0,136 0,68
6 5,5 16 0,136 0,75
7 6 16 0,136 0,81
8 6,5 14 0,119 0,77
9 7 11 0,093 0,65
10 7,5 6 0,051 0,38
11 8 4 0,034 0,27
12 8,5 3 0,025 0,22
13 9 2 0,017 0,15
14 9,5 1 0,008 0,08
15 10 1 0,008 0,08
Σ=5,81
Для первого интервала
P1 = m1 /N =2/118=0,017
Для второго интервала
P2 = m2 /N =7/118=0,059
Для следующих интервалов расчеты выполняются аналогично, результаты приводятся в таблице 2
. Подставив полученные значения в формулу (1), получим среднее значение:
t =3∙0,017+3,5∙0,059+4∙0,051+4,5∙0,110+5·0,136+5,5×
×0,136+6·0,136+6,5·0,119 +7∙0,093+7,5∙0,051+8∙0,03+,125+
+8,5∙0,025+9∙0,017+9,5·0,008+10·0.08 =5,81г
Среднее значение t =5,81 г
Среднеквадратическое отклонение S рассчитывается по формуле :
S = 1n(tiс - t)2∙Pi , (3)
Для определения выборочного среднеквадратического отклонения целесообразно составить вспомогательную таблицу
Таблица 3 – К расчету среднеквадратического отклонения
Интервал Середина
интервала
хiс Вероятность
Рі
tіc -t
(tіc -t)2 QUOTE хсі -х)2
(tiс -t)2∙Pi
1 3 0,017 2,81 7,90 0,13
2 3,5 0,059 2,31 5,34 0,32
3 4 0,051 1,81 3,28 0,17
4 4,5 0,110 1,31 1,72 0,19
5 5 0,136 0,81 0,66 0,09
6 5,5 0,136 0,31 0,10 0,01
7 6 0,136 0,19 0,04 0,00
8 6,5 0,119 0,69 0,48 0,06
9 7 0,093 1,19 1,42 0,13
10 7,5 0,051 1,69 2,86 0,15
11 8 0,034 2,19 4,80 0,16
12 8,5 0,025 2,69 7,24 0,18
13 9 0,017 3,19 10,18 0,17
14 9,5 0,008 3,69 13,62 0,12
15 10 0,008 4,19 17,56 0,15
Сумма ∑ 2,03
S= (3-5,81)2∙0,017 +(3,5-5,81)2∙0,059 +(4-5,81)2 ×
×0,051+…+(9,5-5,81)2∙0,008 + (10-5,81)2∙0,008 =
=2,03 =1,42
Принимаем допущение о равенстве параметров статистического и теоретического распределений , то есть для закона нормального распределения приняты значения t =5,81 и σ =1,42.
Вероятность безотказной работы P(t) рассчитывается по формуле:
P(t) =1-F(t), (4)
где F(t) - функция распределения вероятности возникновения отказа
Функция распределения вероятности возникновения отказа F(t) рассчитывается по формуле:
F(t)=F0 ( ti-tσ )= F0 (upi ), (5)
где (ti-t)σ= upi – квантиль нормального распределения для i–го
значения ;
F0 (upi ) - табличная нормированная и центрированная функция
нормального распределения
Для заданного значения ti =10 лет
F(10)=F0 ( 10-5,811,42 ) =F0 (2,95)=0,99841
P(10) =1-F(t)=1-0,99841=0,00159
Частота отказов f(t) определяется по формуле:
f(t)=1σf0(upi) , (6)
гдеf0(upi) - нормированная функция плотности вероятности
нормального распределения
f(10)=11,42f0(2,95)=11,42·0,00514=3,6·10-3 1/год
Интенсивность отказов λ(t) определется по формуле:
λ(t)=f(t)P(t) , (7)
λ(10)=3,6·10-30,00159= 2,26 1/год
Ответ: P(10) =0,00159; f(10)=3,6·10-3 1/год; λ(10)=2,261/год.
1.Труханов В.М
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
