За некоторый промежуток времени фиксировалось количество клиентов и стоимость заказа в у.е. Данные представлены в виде выборки, заданной табл., где ni (количество обращений) – частота попадания элементов в промежуток (xi,xi+1] – стоимость заказа:
Построить гистограмму относительных частот, выборочную функцию распределения.
Найти состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии.
Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии с уровнем доверия p = 0,9.
Таблица 1 – Исходные данные
Вариант
I xi<X ≤xi+1 ni
1 1 2-4 5
2 4-6 8
3 6-8 16
4 8-10 12
5 10-12 9
Ответ
Гистограмма относительных частот и график эмпирической функции распределения приведены в решении.
x=7,48; s2=5,969
6,909<MX<8,05; 4,409<σ2<8,62
Решение
Построить гистограмму относительных частот, выборочную функцию распределения.
Найдем объем выборки
n=i=1kni
n=5+8+16+12+9=50
Найдем относительные частоты по формуле:
wi=nin
Таблица 2 – Относительные частоты
I xi<X ≤xi+1 ni
wi
1 2-4 5 0,1
2 4-6 8 0,16
3 6-8 16 0,32
4 8-10 12 0,24
5 10-12 9 0,18
Построим гистограмму относительных частот – по оси абсцисс отмечаем интервалы, по оси ординат – относительные частоты (рис. 1):
Рисунок 1 – Гистограмма относительных частот
Перейдем от частичных интервалов к их серединам xi0=xi+xi+12 и сопоставим им частоты и относительные частоты.
Таблица 3 – Переход к серединам интервалов
I xi<X ≤xi+1 xi0
ni
wi
1 2-4 3 5 0,1
2 4-6 5 8 0,16
3 6-8 7 16 0,32
4 8-10 9 12 0,24
5 10-12 11 9 0,18
На основе полученного дискретного распределения строим эмпирическую функцию распределения F*x=PX<x.
Если x≤3, то F*x=0.
Если 3<x≤5, то F*x=PX=3=0,1.
Если 5<x≤7, то F*x=PX=3∪X=5=0,1+0,16=0,26.
Если 7<x≤9, то F*x=PX=3∪X=5∪X=7=0,1+0,16++0,32=0,58.
Если 9<x≤11, то F*x=PX=3∪X=5∪X=7∪X=9=0,1++0,16+0,32+0,24=0,82.
Если x>11, то F*x=PX=3∪X=5∪X=7∪X=9∪X=11==0,1+0,16+0,32+0,24+0,18=1.
Получим:
F*x=0x≤30,1,3<x≤50,26,5<x≤70,58,7<x≤90,82,9<x≤111,x>1
Построим график эмпирической функции распределения (рис
. 2).
Рисунок 2 – График эмпирической функции распределения
Найти состоятельные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии.
Расчет оценок будем производить по ряду с серединами частичных интервалов (таблица 3).
Составим вспомогательную таблицу для расчетов (таблица 4).
Таблица 4 – Вспомогательная таблица для вычисления характеристик
I xi0
ni
nixi0
ni(xi0-x)
ni(xi0-x)2
1 3 5 15 -22,4 100,352
2 5 8 40 -19,84 49,2032
3 7 16 112 -7,68 3,6864
4 9 12 108 18,24 27,7248
5 11 9 99 31,68 111,5136
Сумма
50 374
292,48
Состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания является выборочное среднее:
x=1ni=1knixi0
x=150i=15nixi0=37450=7,48
На основании данных таблицы 4 найдём выборочную дисперсию:
Dв=1ni=1knixi0-x2
Dв=150i=15nixi0-x2=292,4850=5,8496
Несмещенной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:
s2=nn-1Dв
s2=5049∙5.8496≈5,969
Найти доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии с уровнем доверия p = 0,9.
Найдем интервальную оценку математического ожидания нормального распределения.
Интервальная оценка для математического ожидания нормального распределения имеет вид:
x-tp∙sn<MX<x+tp∙sn,
x – выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, tp такое, что Φtp=p2.
В нашей задаче:
x=7,48, s=s2=5,969≈2,443, n=50, Φtp=0,92=0,45⇒tp==1,65
Получим:
7,48-1,65∙2,44350<MX<7,48+1,65∙2,44350
6,909<MX<8,05
Т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
