Вывод формулы момента инерции сплошного цилиндра массой m = 1 кг и радиусом R = 2. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по физике
Вывод формулы момента инерции сплошного цилиндра массой m = 1 кг и радиусом R = 2

Вывод формулы момента инерции сплошного цилиндра массой m = 1 кг и радиусом R = 2 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вывод формулы момента инерции сплошного цилиндра массой m = 1 кг и радиусом R = 2,8 м если ось вращения проходит на расстоянии a = 0,3 м от его оси симметрии. Дано m = 1 кг R = 2,8 м a = 0,3 м I – ?

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

I = 4,01 кгм2. Без вывода теоремы Штейнера

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

На рисунке изображен цилиндр с торца, O – ось симметрии цилиндра, проходящая через центр масс, O' – ось, параллельная оси симметрии и расположенная на расстоянии a от нее.
Момент инерции I относительно заданной оси O'определяется по формуле:
I=mr'2dm.
Здесь dm бесконечно малая масса тела, расположенная на расстоянии r' от оси O'. Интегрирование проводится по всей массе тела.
Обозначим a– расстояние между осями, r – расстояние бесконечно малой массы dm от оси O. Введем оси системы координат с началом в центре масс так, как показано на рисунке.
По теореме косинусов
r'2=a2+r2+2arcos;
rcos=x
r'2=a2+r2+2ax;
I=ma2+r2+2axdm=ma2dm+mr2dm+m2axdm;
I=a2mdm+mr2dm+2amxdm.
Здесь
mdm=m;
mr2dm=IO
– момент инерции цилиндра относительно оси O.
Учтем, что координата центра масс xc относительно некоторой точки определяется по известной формуле:
xc=mxdmm.
Или
mxdm=xcm.
Но здесь xc – координата центра масс, в системе координат, начало которой совпадает с центром масс, поэтому xc=0 . Следовательно,
mxdm=0.
Подставив все эти выражения в формулу момента инерции. получим:
I=IO+ma2.
Эта формула выражает известную теорему Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для того, чтобы найти момент инерции цилиндра относительно оси симметрии, найдем вначале момент инерции Iтц тонкостенного полого цилиндра радиуса r относительно оси симметрии.
Выделим на стенке полого цилиндра бесконечно малую массу dm

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу