Вычислить радиусы второй и третьей орбит в атоме водорода

На электрон, движущийся по орбите, будет действовать сила Кулона:
F=Ze24πε0r2 (1)
Где Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева; e=1,6⋅10-19 Кл – абсолютное значение заряда электрона; ε0=8,85⋅10-12 Ф/м – электрическая постоянная; r – радиус орбиты.
Сила Кулона является центростремительной и сообщает электрону центростремительное ускорение:
aц=v2r
Где v – скорость электрона на орбите.
По второму закону Ньютона можем записать:
F=maц=mv2r (2)
Где m – масса электрона, которая равна m=9,1⋅10-31 кг.
Из выражений (1) и (2) имеем:
Ze24πε0r2=mv2r
Или
Ze24πε0r=mv2 (3)
Согласно постулату Бора движение электрона вокруг ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотношению:
mvr=nℏ
Где n – номер орбиты; ℏ=1,05⋅10-34 Дж⋅с – редуцированная постоянная Планка.
Отсюда:
v=nℏmr (4)
Подставим (4) в (3):
Ze24πε0r=mnℏmr2
Ze24πε0r=n2ℏ2mr2
Отсюда:
r=4πε0ℏ2n2mZe2
Запишем последнее выражение для второй (n1=2) и третьей (n2=2) орбит:
r2=4πε0ℏ2n22mZe2
r3=4πε0ℏ2n32mZe2
Подставим данные:
r2=4⋅3,14⋅8,85⋅10-12⋅1,05⋅10-342⋅229,1⋅10-31⋅1⋅1,6⋅10-192=2,12⋅10-10 м
r3=4⋅3,14⋅8,85⋅10-12⋅1,05⋅10-342⋅329,1⋅10-31⋅1⋅1,6⋅10-192=4,77⋅10-10 м
Ответ: r2=2,12⋅10-10 м; r3=4,77⋅10-10 м.