Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx

А) по формуле средних прямоугольников
abfxdx=hi=0n-1fxi+h2+Ef
Сведём вычисления в таблицу:
i xi+h/2 f(xi+h/2)
0 1,4 0,546795
1 1,8 0,660944
2 2,2 0,736052
3 2,6 0,787786
Сумма 2,731577
abfxdx=0.4∙2.731577≈1.092631
Погрешность можно оценить через максимум второй производной
Ef=f''γ24b-ah2
f'x=2x-52e-1xx
gx=f''x=-34x-5e-1xx5x32-3
Оценим максимум второй производной графически.
Максимальное по модулю значение будет в точке x=1.2
f''1.2≈0.503
Тогда
Ef=0.50324∙1.6∙0.42≈0.0054
б) по формуле трапеций в случае равномерной сетки
abfxdx≈hfx0+fxn2+i=1n-1fxi
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.4):
i xi
fxi
0 1,2 0,467327
1 1,6 0,610116
2 2 0,702189
3 2,4 0,764176
4 2,8 0,807806
abfxdx=0.4∙0.467327+0.8078062+0.610116+0.702189+0.764176≈
≈1.085619
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.2):
i xi
fxi
0 1,2 0,467327
1 1,4 0,546795
2 1,6 0,610116
3 1,8 0,660944
4 2 0,702189
5 2,2 0,736052
6 2,4 0,764176
7 2,6 0,787786
8 2,8 0,807806
abfxdx=0.2∙0.467327+0.8078062+0.546795+…+0.787786≈1.089125
Согласно правилу Рунге погрешность последнего вычисления для метода трапеций, имеющего второй порядок точности:
Δ2n=13I2n-In=131.089125-1.085619≈0.00117
Уточним значение интеграла:
abfxdx=4I2n-In3=1.090293
в) По составной формуле Симпсона в случае равномерной сетки
abfxdx≈h6fx0+2i=1m-1fxi+4i=1mfxi-1+xi2+fxm
Сведём вычисления в таблицу:
i
xi
fxi
xi-1+xi2
fxi-1+xi2
0 1,2 0,467327
1 1,6 0,610116 1,4 0,546795
2 2 0,702189 1,8 0,660944
3 2,4 0,764176 2,2 0,736052
4 2,8 0,807806 2,6 0,787786
i=1m-1fxi
2,076481 i=1mfxi-1+xi2
2,731577
abfxdx≈0.460.467327+2∙2.076481+4∙2.731577+0.807806=1.090293