Вычислить инварианты напряженного состояния, вычислить главные напряжения

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Инварианты напряженного состояния вычисляются по формулам:
МПа
МПа2
(2.1)
МПа3
2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:
(2.2)
Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из (2.1), получаем:
Кубичное уравнение всегда имеет три корня. При этом встретиться два случая:
1) уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных;
2) уравнение имеет три действительных корня.
Уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Используем формулы Кардано.
.(2.9)
Подставляем . (2.10)
Получаем (2.11)
Здесь коэффициенты p и q вычисляются по формулам :
МПа2
МПа3
Далее находим:
МПа3
(рад)
Находим корни уравнения (2.11):
МПа
МПа
МПа
Учитывая (2.10), находим корни исходного уравнения (2.9), являющимися главными напряжениями:
МПа
МПа
МПа
В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: - алгебраически максимальное напряжение; - алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; - алгебраически минимальное напряжение.
Тензор напряжений в главных осях имеет вид:
2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Положение главных осей тензора напряжений определяется матрицей направляющих косинусов:
(2.13)
Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; вторая строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; третья строка - направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение . Все направляющие косинусы задаются в исходной (старой) системе координат, показанной на рис. 1.1.
Направляющие косинусы главных осей тензора находятся из системы уравнений:
(2.14)
при условии
, (2.15)
Здесь , , - направляющие косинусы главной оси тензора напряжений, вдоль которой действует напряжение .
Уравнения (2.14) представляют линейную однородную систему с неизвестными , , , которые, как следует из уравнения (2.15), одновременно нулю равняться не могут.
Для определения направляющих косинусов , , любой главной оси нужно одно из уравнений удалить (любое) и к двум оставшимся добавить уравнение (2.15). Решив полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем направляющие косинусы , , , соответствующие главному напряжению . Положение оставшихся двух осей находят аналогично.
2.3.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ , ,
Для определения направляющих косинусов , , , соответствующих оси, вдоль которой действует напряжение , подставим в (2.14) и (2.15) ; при этом из (2.14) возьмем первые два уравнения:
(2.16)
Сначала найдем отношения между направляющими косинусами; для этого систему уравнений приведем к виду:
(2.17)
Решая подсистему, состоящую из первых двух уравнений, получим
; .(2.18)
Подставляя эти выражения в третье уравнение (2.17), найдем:
(2.19)
откуда
На этом этапе решения задачи можно у выбрать любой знак . Примем . Подставляя это значение в (2.18), получим:
; ; (2.20)
Углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции arccos от , , :
; ;
2.3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ , ,
Подставляя в (2.14) и (2.15) и используя те же два уравнения из (2.14), получим:
(2.21)
Решая эту систему уравнений в той же последовательности, как и в п. 2.3.1, получим:
;
;
Здесь по-прежнему знак у принят положительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемы из первых двух уравнений (2.21).
Углы, которые составляет вторая главная ось с исходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, что определитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, что соответствует левой системе координат. Для то, чтобы получить правую систему координат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.
2.3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ , ,
Подставляя в (2.14) и (2.15) и используя те же уравнения, получим:
(2.22)
Решая эту систему, получим:
;
; ;
Соответствующие углы равны:
; ;
2.4. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
2.4.1. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Для проверки правильности вычисленных главных напряжений определим инварианты тензора напряжений:
МПа
МПа2
МПа3
Как видно, инварианты получились почти такими же, как и в выражениях (2.1). Этот результат также подтверждает вывод о том, что напряженное состояние в точке нагруженного тела является инвариантным объектом.
2.4.2. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
Проверка правильности вычисления положения главных осей тензора напряжений основана на свойствах матрицы направляющих косинусов (2.13). Она относится к ортогональным матрицам и обладает следующими свойствами:
1. Определитель ортогональной матрицы равен единице.
2. Сумма квадратов элементов, входящих в каждую строку (столбец) равна единице.
3. Если рассматривать каждую строку матрицы как вектор-строку, а каждый столбец - как вектор-столбец, то скалярные произведения двух разных векторов-строк (векторов-столбцов) равны нулю.
Воспользуемся первым свойством ортогональных матриц.
Подставив в (2.13) вычисленные направляющие косинусы, получим матрицу направляющих косинусов:
(2.23)
Определитель этой матрицы равен:
Так как определитель получился равным минус единице, новая система координат - левая