Вычислим число степеней свободы k=M-1-s=7-3=4, и по заданному уровню значимости α=0,05 из таблицы распределения χ2 выбираем критическое значение χα; 7-32=χ0,05;4 2=9,5.
Так как χ2=1,225<χ0,05; 42=9,5, то гипотеза H0 о нормальном законе распределения принимается (нет основания ее отклонить).
Проверим гипотезу о нормальном законе с помощью критерия Колмогорова. Построим график гипотетической F0x функции распределения в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения F*x. В качестве опорный точек для графика F0x используем 7 значений F0Aj из таблицы.
По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями F*x и F0x
Z=maxF*xi-F0xi≈0,04
Вычислим значение критерия Колмогорова
λ=n∙Z=49∙0,04=0,28
Из таблицы Колмогорова по заданному уровню значимости α=0,05 выбираем критическое значение λγ=λ1-α=λ0.95=1,36.
Так как λ=0,28<λ0,95=1,36, то гипотезу H0 о нормальном законе распределения отвергать нет основания.
По выборке двухмерной случайной величины:
(1,26; 2,61) (0,94; 1,42) (3,22; 1,37) (2,02; 3,13) (2,41; 0,40)
(4,04; 2,21) (3,06; -0,21) (1,91; 1,34) (2,91; 2,28) (3,98; 1,46)
(1,68; 0,80) (3,17; 1,47) (0,94; 1,23) (1,73; 2,38) (1,64; 2,35)
(1,42; 0,40) (1,81; 4,43) (1,52; 2,51) (2,48; 1,30) (1,41; 2,26)
(2,55; 2,17) (1,50; 2,49) (0,92; 2,09) (2,28; 1,02) (1,22; 3,28)
вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;
вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (γ=0,95);
проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости α=0,05;
вычислить оценку параметров a0* и a1* линии регрессии yx=a0*+a1*x;
построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.
Решение
Для удобства решения задачи составим таблицу. Значения в 3-ем, 4-ом и 5-ом столбцах вычисляются по формулам, приведенными в первой строке таблицы. В последней строке таблицы приведены средние арифметические значений каждого столбца.
i
x
y
x2
y2
x∙y
1 1,26 2,61 1,5876 6,8121 3,2886
1 4,04 2,21 16,3216 4,8841 8,9284
2 1,68 0,8 2,8224 0,64 1,344
3 1,42 0,4 2,0164 0,16 0,568
4 2,55 2,17 6,5025 4,7089 5,5335
5 0,94 1,42 0,8836 2,0164 1,3348
6 3,06 -0,21 9,3636 0,0441 -0,6426
7 3,17 1,47 10,0489 2,1609 4,6599
8 1,81 4,43 3,2761 19,6249 8,0183
9 1,5 2,49 2,25 6,2001 3,735
10 3,22 1,37 10,3684 1,8769 4,4114
11 1,91 1,34 3,6481 1,7956 2,5594
12 0,94 1,23 0,8836 1,5129 1,1562
13 1,52 2,51 2,3104 6,3001 3,8152
14 0,92 2,09 0,8464 4,3681 1,9228
15 2,02 3,13 4,0804 9,7969 6,3226
16 2,91 2,28 8,4681 5,1984 6,6348
17 1,73 2,38 2,9929 5,6644 4,1174
18 2,48 1,3 6,1504 1,69 3,224
19 2,28 1,02 5,1984 1,0404 2,3256
20 2,41 0,4 5,8081 0,16 0,964
21 3,98 1,46 15,8404 2,1316 5,8108
22 1,64 2,35 2,6896 5,5225 3,854
23 1,41 2,26 1,9881 5,1076 3,1866
24 1,22 3,28 1,4884 10,7584 4,0016
25 1,26 2,61 1,5876 6,8121 3,2886
Средние 2,0808 1,8476 5,113376 4,407012 3,642972
Таким образом получены:
оценки математических ожиданий по каждой переменной
mX*=x=1ni=1nxi=2,0808
mY*=y=1ni=1nyi=1,8476
оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной
α2*x=1ni=1nxi2=5,113376
α2*y=1ni=1nyi2=4,407012
оценка смешанного начального момента второго порядка
α1,1*x, y=1ni=1nxiyi=3,642972
На основании этих данных вычислим оценки дисперсий
D*x=S02x=1n-1i=1nxi2-nn-1x2=nn-1 α2*x-nn-1x2=2524 ∙5,113376-2524 ∙2,08082=0,816299
D*y=S02y=1n-1i=1nyi2-nn-1y2=nn-1 α2*y-nn-1y2=2524∙4,407012-2524∙1,84762=1,034777
и оценку корреляционного момента
KXY*=1n-1i=1nxiyi-nn-1x∙y=nn-1α1,1*x,y-nn-1x∙y=2524∙3,642972-2524∙2,0808∙1,8476=-0,20991
Вычислим точечную оценку коэффициента корреляции
RXY*=KXY*S02x∙S02y=-0,209910,816299∙1,034777≈-0,22839
Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью γ=0,95
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
