Вычисление расчетных характеристик годового стока при наличии длительного периода наблюдений

По формуле 1 вычисляем среднеарифметический среднегодовой расход:
Q=1n∙Q1+Q2+…+Qn=i=1nQin. (1)
Q=5690.440=142,26 м3с.
Далее среднегодовые расходы заменим относительным стоком - модульным коэффициентом Ki=Qi Qn.
Находим отклонения годового стока от нормы, подсчитываем нарастающую сумму отклонений стока за год от его среднемноголетней величины.
По рассчитанным данным (таблица 1) строим построим сокращенную интегральную кривую (рисунок 1).
Таблица 1 – Вычисление ординат сокращенной интегральной кривой
№ п.п. Годы Средние годовые расходы воды, Q м3/с K
K -1
K -12
1t(K -1)
1 2 3 4 5 6 7
1 1934 140 0,98 -0,02 0,0003 -0,02
2 1935 159 1,12 0,12 0,0138 0,10
3 1936 154 1,08 0,08 0,0068 0,18
4 1937 99,9 0,70 -0,30 0,0887 -0,11
5 1938 109 0,77 -0,23 0,0547 -0,35
6 1939 76,7 0,54 -0,46 0,2124 -0,81
7 1940 131 0,92 -0,08 0,0063 -0,89
8 1943 162 1,14 0,14 0,0193 -0,75
9 1944 131 0,92 -0,08 0,0063 -0,83
10 1945 125 0,88 -0,12 0,0147 -0,95
11 1946 155 1,09 0,09 0,0080 -0,86
12 1947 180 1,27 0,27 0,0704 -0,59
13 1948 135 0,95 -0,05 0,0026 -0,65
14 1949 131 0,92 -0,08 0,0063 -0,72
15 1950 178 1,25 0,25 0,0631 -0,47
16 1951 128 0,90 -0,10 0,0100 -0,57
17 1952 155 1,09 0,09 0,0080 -0,48
18 1953 245 1,72 0,72 0,5216 0,24
19 1954 132 0,93 -0,07 0,0052 0,17
20 1955 196 1,38 0,38 0,1427 0,54
21 1956 157 1,10 0,10 0,0107 0,65
22 1957 196 1,38 0,38 0,1427 1,03
23 1958 226 1,59 0,59 0,3465 1,61
24 1959 139 0,98 -0,02 0,0005 1,59
25 1960 147 1,03 0,03 0,0011 1,62
26 1961 166 1,17 0,17 0,0278 1,79
27 1962 229 1,61 0,61 0,3718 2,40
28 1963 95,2 0,67 -0,33 0,1094 2,07
29 1964 73,4 0,52 -0,48 0,2343 1,59
30 1965 104 0,73 -0,27 0,0723 1,32
31 1966 179 1,26 0,26 0,0667 1,58
32 1967 110 0,77 -0,23 0,0514 1,35
33 1968 128 0,90 -0,10 0,0100 1,25
34 1969 89,8 0,63 -0,37 0,1360 0,88
35 1970 154 1,08 0,08 0,0068 0,96
36 1971 129 0,91 -0,09 0,0087 0,87
37 1972 106 0,75 -0,25 0,0650 0,61
38 1973 97,4 0,68 -0,32 0,0994 0,30
39 1974 126 0,89 -0,11 0,0131 0,18
40 1975 116 0,82 -0,18 0,0341 0,00
Рисунок 1 - Сокращенная интегральная кривая реки Волга
За расчетный период принимаем годы с 1937 по 1970 г. Тогда среднемноголетний годовой сток (норма) с учетом цикличности равен:
Q=481733=145,97 м3с.
Достаточность ряда устанавливают с помощью относительной среднеквадратической ошибки нормы стока, вычисляемой по формуле:
εQ=σQQ=Cvn∙1+r1-r∙100%, (2)
где r- коэффициент автокорреляции, равный:
r=i=1n-1Qi-Q1∙Qi+1-Q2/i=2nQi-Q12∙i=1n-1Qi-Q22 (3)
Q1=i=1n-1Qi/(n-1)=4663,033-1=145,72 (4)
Q2=i=2nQi/(n-1)=4663,032= 145,72 (5)
Вычисления коэффициента автокорреляции представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Вычисления коэффициента автокорреляции
№ п.п . Годы Q м3/с Qi-Q1
Qi+1-Q2
Qi-Q1∙Qi+1-Q2
(Qi-Q1)2
(Qi-Q2)2
1 1936 154 8,28
-379,44
68,58
2 1937 99,9 -45,82 -45,82 1682,41 2099,36 2099,36
3 1938 109 -36,72 -36,72 2534,28 1348,27 1348,27
4 1939 76,7 -69,02 -69,02 1015,87 4763,59 4763,59
5 1940 131 -14,72 -14,72 -239,64 216,64 216,64
6 1943 162 16,28 16,28 -239,64 265,08 265,08
7 1944 131 -14,72 -14,72 304,95 216,64 216,64
8 1945 125 -20,72 -20,72 -192,30 429,27 429,27
9 1946 155 9,28 9,28 318,17 86,14 86,14
10 1947 180 34,28 34,28 -367,45 1175,20 1175,20
11 1948 135 -10,72 -10,72 157,77 114,89 114,89
12 1949 131 -14,72 -14,72 -475,14 216,64 216,64
13 1950 178 32,28 32,28 -571,98 1042,08 1042,08
14 1951 128 -17,72 -17,72 -164,45 313,95 313,95
15 1952 155 9,28 9,28 921,45 86,14 86,14
16 1953 245 99,28 99,28 -1362,01 9856,77 9856,77
17 1954 132 -13,72 -13,72 -689,80 188,20 188,20
18 1955 196 50,28 50,28 567,24 2528,20 2528,20
19 1956 157 11,28 11,28 567,24 127,27 127,27
20 1957 196 50,28 50,28 4036,64 2528,20 2528,20
21 1958 226 80,28 80,28 -539,39 6445,08 6445,08
22 1959 139 -6,72 -6,72 -8,61 45,14 45,14
23 1960 147 1,28 1,28 25,99 1,64 1,64
24 1961 166 20,28 20,28 1689,05 411,33 411,33
25 1962 229 83,28 83,28 -4207,26 6935,77 6935,77
26 1963 95,2 -50,52 -50,52 3653,45 2552,14 2552,14
27 1964 73,4 -72,32 -72,32 3017,05 5230,00 5230,00
28 1965 104 -41,72 -41,72 -1388,45 1740,45 1740,45
29 1966 179 33,28 33,28 -1188,76 1107,64 1107,64
30 1967 110 -35,72 -35,72 632,89 1275,83 1275,83
31 1968 128 -17,72 -17,72 990,81 313,95 313,95
32 1969 89,8 -55,92 -55,92 -463,08 3126,91 3126,91
33 1970 154
8,28
68,58
Σ
4817,0
9637,85 56857,01 56857,01
r=i=1n-1Qi-Q1∙Qi+1-Q2/i=2nQi-Q12∙i=1n-1Qi-Q22=9637,85/86857,01=0,17
Для определения Cv методом наибольшего правдоподобия предварительно по формулам (6) и (7) рассчитывают статистики λ2 и λ3 (таблица 3):
λ2=i=1nlgKi/(n-1) (6)
λ3=i=1nKi∙lgKi/(n-1) (7)
Таблица 3 – Вычисление статистик λ2 и λ3
№ п/п Модульный коэффициент К (в порядке убывания lgK
KlgK
Р, %
1 3 4 5 6
1 1,68 0,225 0,377 0,03
2 1,57 0,196 0,307 0,06
3 1,55 0,190 0,294 0,09
4 1,34 0,128 0,172 0,13
5 1,34 0,128 0,172 0,16
6 1,23 0,091 0,112 0,19
7 1,23 0,089 0,109 0,22
8 1,22 0,086 0,105 0,25
9 1,14 0,056 0,064 0,28
10 1,11 0,045 0,050 0,31
11 1,08 0,032 0,034 0,34
12 1,06 0,026 0,028 0,38
13 1,06 0,026 0,028 0,41
14 1,06 0,023 0,025 0,44
15 1,06 0,023 0,025 0,47
16 1,01 0,003 0,003 0,50
17 0,95 -0,021 -0,020 0,53
18 0,92 -0,034 -0,031 0,56
19 0,90 -0,044 -0,040 0,59
20 0,90 -0,047 -0,042 0,63
21 0,90 -0,047 -0,042 0,66
22 0,90 -0,047 -0,042 0,69
23 0,88 -0,057 -0,050 0,72
24 0,88 -0,057 -0,050 0,75
25 0,86 -0,067 -0,058 0,78
26 0,75 -0,123 -0,093 0,81
27 0,75 -0,127 -0,095 0,84
28 0,71 -0,147 -0,105 0,88
29 0,68 -0,165 -0,113 0,91
30 0,65 -0,186 -0,121 0,94
31 0,62 -0,211 -0,130 0,97
32 0,53 -0,279 -0,147 1,00
33 0,50 -0,299 -0,150 1,03
Σ -0,591 0,575 0,03
λ2=i=1nlgKi/(n-1)=-0,59139=-0,018.
λ3=i=1nKi∙lgKi/(n-1)=0,57539=0,018.
Затем, пользуясь номограммой (рисунок 2), находят Cv=0,291, Cs=2,5Cv=0,726,
Рисунок 2 - Номограмма
Тогда относительная среднеквадратическая ошибка нормы стока
εQ=Cvn∙1+r1-r∙100%=0,29133∙1+0,171-0,17∙100%=6,0 %.
Следовательно, ряд наблюдений для определения нормы годового стока - достаточный.
Относительная среднеквадратическая ошибка коэффициента Cv:
εCv=1n+4∙Cv2∙n∙1+Cv22∙1+3∙Cv∙r21+r∙100%==133+4∙0,291 2∙n∙1+0,291 22∙1+3∙0,291∙0,1721+0,17∙100%==0,032∙100%=3,2 %
Следовательно, данных для вычисления Cv также достаточно.
Чтобы определить Cv и Cs методом моментов, выполняют расчет в таблице 4