Волновая функция основного состояния атома водорода имеет вид

Ψr=1πa3∙e-r/a
Среднее значение расстояния от ядра до электрона
r=0+∞Ψ*r Ψ dV=0+∞Ψ*r Ψ 4πr2dr=4a30+∞r3∙e-2r/adr=4a33a48=32a
Вероятность dW нахождения частицы в момент времени t в элементе объема dV
dW=Ψ*Ψ∙dV=1πa3∙e-2ra4πr2dr=4r2a3∙e-2r/adr
плотность вероятности:
ρ(r)=4r2a3∙e-2r/a
Найдем максимум плотности вероятности
dρrdr=8ra3∙e-2ra-4r2a3∙2ae-2ra=0
8ra3-8r2a4=0
Наиболее вероятное расстояние от ядра: rвер=a