Вода самотеком перепускается из одного резервуара в другой по трубопроводу (см. рис.). Определить расход при заданных уровнях Н1 и Н2, пренебрегая неустановившемся характером течения и полагая, что в первом приближении режим течения соответствует квадратичной области с абсолютной эквивалентной зернистой шероховатостью k. Построить диаграмму уравнения Бернулли, а также найти время выравнивания уровней. Геометрические размеры трубопровода даны в таблице, температура воды t = 20 0C.
Дано:
L1 = 45 м ;
L2 = 15 м ;
L3 = 20 м ;
L4 = 15 м ;
d1 = 75 мм = 0,075 м ;
d3 = 125 мм = 0,125 м ;
d4 = 100 мм = 0,1 м ;
Н1 = 10 м ;
Н2 = 4 м ;
Н3 = 5 м ;
α = 450 ;
k = 0,4 мм = 4·10-4 м ;
t = 20 0C ;
D1 = 5 м ;
D2 = 3м .
Q - ? T - ?
Решение
Из справочных данных: кинематическая вязкость воды при t = 20 0C ν = 1,006·10-6 м2/с , плотность воды при этой же температуре ρ = 998 кг/м3 .
Запишем уравнение Бернулли для двух сечений, совпадающих с уровнями воды в резервуарах. Плоскость сравнения – по оси трубопровода (в самой нижней его части).
Z1 + P1/ρ·g + α1·V12/2·g = Z2 + P2/ρ·g + α2·V22/2·g + hw .
Здесь
Z1 = H1 + H2 ; Z2 = H3 ; P1 = P2 ; α1 = α2 = 1 (в предположении турбулентного режима) ; V1 = V2 = 0 ; hw – потери напора .
Получим:
H1 + H2 – Н3 = hw .
где
hw = hД + hМ ,
где
hД– потери напора по длинне ;
hМ – местные потери напора .
Из геометрических соображений
L1-2 = H2/sinα= 4/sin450= 5,658 м.
Получим:
hМ = ξ1·V12/2·g + 2·ξ2·V12/2·g + ξ3·V32/2·g +ξ4·V42/2·g + ξ5·V42/2·g =
= (ξ1 + 2·ξ2)·V12/2·g + ξ3·V32/2·g + (ξ4 + ξ5)·V42/2·g .
Здесь
ξ1 = 0,5 – коэффициент при входе в трубу ;
ξ2 = 0,14 – коэффициент при повороте на 450 (центральный угол 1200) ;
ξ3 – коэффициент при внезапном расширении ;
ξ3 = (d32/d12 – 1)2 = (0,1252/0,0752 – 1)2 = 3,16 ;
ξ4 – коэффициент при внезапном сужении ;
ξ4 = 0,5·(1 – d42/d32) = 0,5·(1 – 0,12/0,1252) = 0,18 ;
ξ5 = 1 – коэффициент при выходе из трубы (истечение под уровень) .
hД = λ1·((L1 + L1-2 + L2)/d1)·V12/2·g + λ3·(L3/d3)·V32/2·g + λ4·(L4/d4)·V42/2·g .
Коэффициент гидравлического трения
λi = 0,11·(k/di + 68/Rei)0,25 = 0,11·(k/di + 17·ν·π·di/Q)0,25 .
Также с учетом того, что
Vi = Q/Si = 4·Q/π·di2 ,
запишем
H1 + H2 – Н3 = 10 + 4 – 5 = 9 = hw = hД + hМ=
= (ξ1 + 2·ξ2)·8·Q2/π2·g·d14 + ξ3·8·Q2/π2·g·d34 + (ξ4 + ξ5)·8·Q2/π2·g·d44 +
+ 0,11·(k/d1 + 17·ν·π·d1/Q)0,25·((L1 + L1-2 + L2)/d1)·8·Q2/π2·g·d14 +
+ 0,11·(k/d3 + 17·ν·π·d3/Q)0,25·(L3/d3)·8·Q2/π2·g·d34+
+ 0,11·(k/d4 + 17·ν·π·d4/Q)0,25·(L4/d4)·8·Q2/π2·g·d44=
= (8·Q2/π2·9,81){0,5 + 2·0,14)/0,0754+ 3,16/0,1254+(0,18 + 1)/0,14}+
+ 0,11·(0,4/75 + 17·1,006·10-6·π·0,075/Q)0,25·((45 +5,658 + 15)/0,075)·8·Q2/(π2·g·0,0754)+
+ 0,11·(0,4/125 + 17·1,006·10-6·π·0,125/Q)0,25·(20/0,125)·8·Q2/(π2·g·0,1254)+
+ 0,11·(0,4/100+ 17·1,006·10-6·π·0,1/Q)0,25·(15/0,1)·8·Q2/(π2·g·0,14)=
=4085,5∙Q2+251730∙Q2∙0,00533+4,027∙10-6Q0,25+
+5963∙Q2∙0,0032+6,712∙10-6Q0,25+13647∙Q2∙0,004+5,37∙10-6Q0,25
После проведения преобразований
9=4085,5∙Q2+251730∙Q2∙0,00533+4,027∙10-6Q0,25+
+5963∙Q2∙0,0032+6,712∙10-6Q0,25+13647∙Q2∙0,004+5,37∙10-6Q0,25.
Расход Q определим графоаналитическим методом:
Получили, при Н = 9 м расход Q = 10,7 л/с = 0,0107 м3/с .
Вычисления для построения диаграммы уравнения Бернулли:
V1 = 4·Q/π·d12 = 4·0,0107 /(π·0,0752 )= 2,42 м/с ;
V3 = 4·Q/π·d32 = 4·0,0107 /(π·0,1252 )= 0,87м/с ;
V4 = 4·Q/π·d42 = 4·0,0107 /(π·0,12 )= 1,36м/с ;
V12/2·g = 0,30 м ; V32/2·g = 0,04 м ; V42/2·g = 0,09 м ;
251730∙Q2∙0,00533+4,027∙10-6Q0,25=0,162м
5963∙Q2∙0,0032+6,712∙10-6Q0,25=0,003м
13647∙Q2∙0,004+5,37∙10-6Q0,25=0,007м
0,14·V12/2·g = 0,04 м ;
3,16·V32/2·g = 0,13м ;
0,11·((0,3/200 + 17·1,006·10-6·π·0,2/0,023)0,25·20/0,2)·0,7322/2·9,81 = 0,063 м ;
0,18·V42/2·g = 0,018 м ;
0,11·((0,3/150 + 17·1,006·10-6·π·0,15/0,023)0,25·25/0,15)·1,3022/2·9,81 = 0,349 м ;
1·V42/2·g = 0,086 м .
Выполним построения:
Время выравнивания уровней воды в резервуарах рассчитывается по формуле :
Т = 2·D12 ·D22d2·(D1+D2)·H2·g ,
где
D1 , D2 – диаметры резервуаров ;
d – минимальный диаметр соединительного трубопровода ;
H – первоначальная разность уровней воды в резервуарах ;
g – ускорение свободного падения .
Вычислим :
Т = 2·52 ·320,12·(5 +3)·12+5-62·9,81≈ 4211,82 с = 70,2 мин = 1 ч 10 мин 12 с .
Ответ:Q = 0,0107м3/с = 10,7 л/с ; Т = 4211,82 с = 70,2 мин = 1 ч 10 мин 12 с .
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
