Вода самотеком перепускается из одного резервуара в другой по трубопроводу (см. рис.). Определить расход при заданных уровнях Н1 и Н2, пренебрегая неустановившемся характером течения и полагая, что в первом приближении режим течения соответствует квадратичной области с абсолютной эквивалентной зернистой шероховатостью k. Построить диаграмму уравнения Бернулли, а также найти время выравнивания уровней. Геометрические размеры трубопровода даны в таблице, температура воды t = 20 0C .
Дано:
L1 = 70 м ;
L2 = 10 м ;
L3 = 20 м ;
L4 = 25 м ;
d1 = 100 мм = 0,1 м ;
d3 = 200 мм = 0,2 м ;
d4 = 150 мм = 0,15 м ;
Н1 = 12 м ;
Н2 = 5 м ;
Н3 = 6 м ;
α = 600 ;
k = 0,3 мм = 3·10-4 м ;
t = 20 0C ;
D1 = 5 м ;
D2 = 3 м .
Q - ? T - ?
Решение
Из справочных данных: кинематическая вязкость воды при t = 20 0C ν = 1,006·10-6 м2/с , плотность воды при этой же температуре ρ = 998 кг/м3 .
Запишем уравнение Бернулли для двух сечений, совпадающих с уровнями воды в резервуарах. Плоскость сравнения – по оси трубопровода (в самой нижней его части).
Z1 + P1/ρ·g + α1·V12/2·g = Z2 + P2/ρ·g + α2·V22/2·g + hw .
Здесь
Z1 = H1 + H2 ; Z2 = H3 ; P1 = P2 ; α1 = α2 = 1 (в предположении турбулентного режима) ; V1 = V2 = 0 ; hw – потери напора .
Получим:
H1 + H2 – Н3 = hw .
где
hw = hД + hМ ,
где
hД – потери напора по длинне ;
hМ – местные потери напора .
Из геометрических соображений
L1-2 = H2/sin α = 5/sin 600 = 5,774 м .
Получим:
hМ = ξ1·V12/2·g + 2·ξ2·V12/2·g + ξ3·V32/2·g + ξ4·V42/2·g + ξ5·V42/2·g =
= (ξ1 + 2·ξ2)·V12/2·g + ξ3·V32/2·g + (ξ4 + ξ5)·V42/2·g .
Здесь
ξ1 = 0,5 – коэффициент при входе в трубу ;
ξ2 = 0,18 – коэффициент при повороте на 600 (центральный угол 1200) ;
ξ3 – коэффициент при внезапном расширении ;
ξ3 = (d32/d12 – 1)2 = (0,22/0,12 – 1)2 = 9 ;
ξ4 – коэффициент при внезапном сужении ;
ξ4 = 0,5·(1 – d42/d32) = 0,5·(1 – 0,152/0,22) = 0,219 ;
ξ5 = 1 – коэффициент при выходе из трубы (истечение под уровень) .
hД = λ1·((L1 + L1-2 + L2)/d1)·V12/2·g + λ3·(L3/d3)·V32/2·g + λ4·(L4/d4)·V42/2·g .
Коэффициент гидравлического трения
λ = 0,11·(k/d + 68/Re)0,25 = 0,11·(k/d + 17·ν·π·d/Q)0,25 .
Также с учетом того, что
V = Q/S = 4·Q/π·d2 ,
запишем
H1 + H2 – Н3 = 12 + 5 – 6 = 11 = hw = hД + hМ =
= (ξ1 + 2·ξ2)·8·Q2/π2·g·d14 + ξ3·8·Q2/π2·g·d34 + (ξ4 + ξ5)·8·Q2/π2·g·d44 +
+ 0,11·(k/d1 + 17·ν·π·d1/Q)0,25·((L1 + L1-2 + L2)/d1)·8·Q2/π2·g·d14 +
+ 0,11·(k/d3 + 17·ν·π·d3/Q)0,25·(L3/d3)·8·Q2/π2·g·d34 +
+ 0,11·(k/d4 + 17·ν·π·d4/Q)0,25·(L4/d4)·8·Q2/π2·g·d44 =
= (8·Q2/π2·g)·((ξ1 + 2·ξ2)/d14 + ξ3/d34 + (ξ4 + ξ5)/d44 +
+ 0,11·(k/d1 + 17·ν·π·d1/Q)0,25·((L1 + L1-2 + L2)/d1)/d14 +
+ 0,11·(k/d3 + 17·ν·π·d3/Q)0,25·(L3/d3)/d34 +
+ 0,11·(k/d4 + 17·ν·π·d4/Q)0,25·(L4/d4)/d44) =
= (8·Q2/π2·9,81)·((0,5 + 2·0,18)/0,14 + 9/0,24 + (0,219 + 1)/0,154 +
+ 0,11·(0,3/100 + 17·1,006·10-6·π·0,1/Q)0,25·((70 + 5.774 + 10)/0,15 +
+ 0,11·(0,3/200 + 17·1,006·10-6·π·0,2/Q)0,25·(20/0,25 +
+ 0,11·(0,3/150 + 17·1,006·10-6·π·0,15/Q)0,25·(25/0,155) ,
т.е.
11 = 0,083·Q2·[+
+ ] .
Расход Q найдем графоаналитическим методом:
Н , м
Q , л/с
Получили, при Н = 11 м расход Q = 23 л/с = 0,023 м3/с .
Вычисления для построения диаграммы уравнения Бернулли:
V1 = 4·Q/π·d12 = 4·0,023/π·0,12 = 2,928 м/с ;
V3 = 4·Q/π·d32 = 4·0,023/π·0,22 = 0,732 м/с ;
V4 = 4·Q/π·d42 = 4·0,023/π·0,152 = 1,302 м/с ;
V12/2·g = 0,437 м ; V32/2·g = 0,027 м ; V42/2·g = 0,086 м ;
0,5·V12/2·g = 0,219 м ;
0,11·((0,3/100 + 17·1,006·10-6·π·0,1/0,023)0,25·70/0,1)·2,9282/2·9,81 = 8,023 м ;
0,18·V12/2·g = 0,079 м ;
0,11·((0,3/100 + 17·1,006·10-6·π·0,1/0,023)0,25·5,774/0,1)·2,9282/2·9,81 = 0,662 м ;
0,18·V12/2·g = 0,079 м ;
0,11·((0,3/100 + 17·1,006·10-6·π·0,1/0,023)0,25·10/0,1)·2,9282/2·9,81 = 1,146 м ;
9·V32/2·g = 0,246 м ;
0,11·((0,3/200 + 17·1,006·10-6·π·0,2/0,023)0,25·20/0,2)·0,7322/2·9,81 = 0,063 м ;
0,219·V42/2·g = 0,019 м ;
0,11·((0,3/150 + 17·1,006·10-6·π·0,15/0,023)0,25·25/0,15)·1,3022/2·9,81 = 0,349 м ;
1·V42/2·g = 0,086 м .
Выполним построения:
Н , м
L , м
Время выравнивания уровней воды в резервуарах рассчитывается по формуле :
Т = 2·D12 ·D22d2·(D1+D2)·H2·g ,
где
D1 , D2 – диаметры резервуаров ;
d – минимальный диаметр соединительного трубопровода ;
H – первоначальная разность уровней воды в резервуарах ;
g – ускорение свободного падения .
Вычислим :
Т = 2·52 ·320,12·(5 +3)·12+5-62·9,81 ≈ 4211,82 с = 70,2 мин = 1 ч 10 мин 12 с .
Ответ: Q = 0,023 м3/с = 23 л/с ; Т = 4211,82 с = 70,2 мин = 1 ч 10 мин 12 с .
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
