Вероятность того что в локомотивном депо расход электроэнергии превысит суточную норму равна p=0,2

Пусть событие A1 - расход электроэнергии превысит суточную норму.
n=5 m=2 p=0,2 => q=1-p=0,8
Вероятность того, что событие A1 появится в 5 случаях 2 раза, подсчитаем тремя способами.
а) По формуле Бернулли:
Pnm=Cnm∙pm∙qn-m
PA1=P52=C52∙0,22∙0,83=5!2!∙3!∙0,04∙0,512=10∙0,04∙0,512=0,2048
б) по формуле Пуассона:
Pnm≈λmm!∙e-λ, λ=np=5∙0,2=1
PA1=P52≈122!∙e-1=12e≈0,1839
в) Применяя локальную теорему Лапласа.
Pnm≈1npq∙φm-npnpq
φ(x) - локальная функция Лапласа . Данная функция четная, т.е φ-x=φ(x). Значения берем из таблицы значений локальной функции Лапласа.
PA1=P52≈1npq∙φm-npnpq=15∙0,2∙0,8∙φ2-15∙0,2∙0,8≈
≈1,118∙φ(1,12)≈1,118∙0,2131≈0,2382
Расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере n=5 имеет малое значение, а формула Пуассона и локальная теорема Лапласа дают достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях n.
Пусть событие A2 – перерасхода энергии не будет хотя бы в течение 3 дней, то есть перерасхода энергии не будет вообще или будет в течение одного или двух дней за время наблюдения.
а) По формуле Бернулли вероятность события A2 находим как сумму отдельных вероятностей:
PA2=P50+P51+P52
P50=C50∙0,20∙0,85=5!0!∙5!∙1∙0,32768=1∙1∙0,32768=0,32768
P51=C51∙0,21∙0,84=5!1!∙4!∙0,2∙0,4096=5∙0,2∙0,4096=0,4096
PA2=0,32768+0,4096+0,2382=0,97848
б) найдем вероятность события A2 по интегральной теореме Лапласа:
Pnk≤m≤l=Фl-npnpq-Фk-npnpq, k=0, l=2
Ф(x) - интегральная функция Лапласа