В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины X.
Требуется:
Вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее x; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной γ=0,95).
xi
2,0 – 2,2 2,2 – 2,4 2,4 – 2,6 2,6 – 2,8 2,8 – 3,0
ni
6 23 38 25 8
Решение
Вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее x; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
Дополним исходную таблицу значениями середин интервалов xi*
Частичные интервалы 2,0 – 2,2 2,2 – 2,4 2,4 – 2,6 2,6 – 2,8 2,8 – 3,0
Середины интервалов, xi*
2,1 2,3 2,5 2,7 2,9
Частоты, ni
6 23 38 25 8
n=ni=6+23+38+25+8=100 – объем выборки.
Выборочное среднее
x=1nxi*ni=11002,1∙6+2,3∙23+2,5∙38+2,7∙25+2,9∙8=110012,6+52,9+95+67,5+23,2=251,2100=2,512
Для вычисления остальных числовых характеристик выборки предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков
μk=1nxi*-xkni k=2, 3, 4
Результаты представлены в таблице
Частичные интервалы Середины интервалов, xi*
Частоты, ni
xi*-x2ni
xi*-x3ni
xi*-x4ni
[2,0; 2,2) 2,1 6 1,018464 0,419607 0,172878
[2,2; 2,4) 2,3 23 1,033712 0,219147 0,046459
[2,4; 2,6) 2,5 38 0,005472 0,000066 0,000001
[2,6; 2,8) 2,7 25 0,8836 0,166117 0,03123
[2,8; 3,0] 2,9 8 1,204352 0,467289 0,181308
Σ
100 4,1456 1,272226 0,431876
μk
0,0415 0,012722 0,004319
Выборочная дисперсия s2=μ2=0,0415
Выборочное среднее квадратическое отклонение
s=s2=0,0415≈0,2037
Выборочный коэффициент асимметрии
A*=μ3σ3=0,0127220,20373≈1,5052
Выборочный коэффициент эксцесса
E*=μ4σ4-3=0,0043190,20374-3≈-0,4915
Выборочный коэффициент вариации
V=sx∙100%=0,20372,512∙100%≈8,1091%
Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найти теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
Дифференциальная функция нормального закона распределения Na, σ с параметрами a, σ имеет вид
fx=1σ2πe-x-a22σ2
Точечными оценками параметров a, σ нормального распределения являются выборочное среднее и выборочное среднее квадратичное отклонение соответственно
a=x=2,512; σ=s=0,2037
Следовательно, дифференциальная функция предполагаемого нормального закона распределения имеет вид
fx=10,20372πe- x-2,51220,083
интегральная функция предполагаемого нормального закона распределения имеет вид
Fx=10,20372π-∞xe- t-2,51220,083dt
Используя нормированную функцию Лапласа Фx=12π0xe-t22dt, интегральную функцию распределения нормального закона можно записать в виде
Fx=12+Фx-2,5120,2037
Проведем детальную проверку гипотезы о распределения СВ X по нормальному закону с помощью критерия согласия χ2
. Для этого пронормируем частичные интервалы, выразив их в единицах среднего квадратического отклонения s
ui=xi-xs
причем наименьшее значение ui положим равным -∞, наибольшее - +∞ (столбец 3 таблицы). Заметим, что так определенная СВ U является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a= 0; σ= 1.
Далее вычисляем теоретические вероятности – вероятности попадания СВ X, распределенной по нормальному закону с параметрами a= 2,512; σ= 0,2037, в частичные интервалы xi, xi+1 по формуле
pi=Pxi<X<xi+1=Фui+1-Фui
где
ui=xi-xs, Фui=12π0uie-t22dt
(значения функции Лапласа приведены в таблице).
Теоретические вероятности
p1=P-∞<x<2,2=Ф2,2-2,5120,2037-Ф-∞-2,5120,2037=Ф-1,53-Ф-∞=-Ф1,53+Ф∞=-0,437+0,5=0,063
p2=P2,2<x<2,4=Ф2,4-2,5120,2037-Ф2,2-2,5120,2037=Ф-0,55-Ф-1,53=-Ф0,55+Ф1,53=-0,2088+0,437=0,2282
p3=P2,4<x<2,6=Ф2,6-2,5120,2037-Ф2,4-2,5120,2037=Ф0,43-Ф-0,55=Ф0,43+Ф0,55=0,1664+0,2088=0,3752
p4=P2,6<x<2,8=Ф2,8-2,5120,2037-Ф2,6-2,5120,2037=Ф1,41-Ф0,43=0,4207-0,1664=0,2543
p5=P2,8<x<+∞=Ф+∞-2,5120,2037-Ф2,8-2,5120,2037=Ф+∞-Ф1,41=0,5-0,4207=0,0793
После этого вычисляют теоретические частоты нормального закона распределения ni'=npi (столбец 5 таблицы) и наблюдаемое значение критерия χ2
χн2=ni-npi2npi
где ni – эмпирические частоты, npi – теоретические частоты.
Частичные интервалы Частоты, ni
Нормированные интервалы, ui, ui+1
Теоретические вероятности, pi
Теоретические частоты, npi
ni-npi2
ni-npi2npi
[2,0; 2,2) 6 (-∞; -1,53) 0,063 6,3 0,09 0,0143
[2,2; 2,4) 23 [-1,53; -0,55) 0,2282 22,82 0,0324 0,0014
[2,4; 2,6) 38 [-0,55; 0,43) 0,3752 37,52 0,2304 0,0061
[2,6; 2,8) 25 [0,43; 1,41) 0,2543 25,43 0,1849 0,0073
[2,8; 3,0] 8 [1,41; +∞) 0,0793 7,93 0,0049 0,0006
Сумма 100 - 1 100 - χн2=0,0297
В результате вычислений получили χн2=0,0297 (столбец 7 таблицы).
Затем по таблицам квантилей распределения χ2 находим критическое значение χкр2=χα, v2 , где α=1-γ – уровень значимости и v=k-r-1 – число степеней свободы (здесь k – число интервалов, r – число параметров предполагаемого закона распределения СВ X)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
