В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины Х

А) Вычислим числовые характеристики выборки: выборочное среднее x; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
Объем выборки:
n=i=1kni=6+20+46+23+11=106
Т.к. дана группированная выборка, то перейдем к серединам xi* частичных интервалов (табл. 2):
Таблица 2
№ Ji-Ji+1
xi*
ni
1 4,0–4,2 4,1 6
2 4,2–4,4 4,3 20
3 4,4–4,6 4,5 46
4 4,6–4,8 4,7 23
5 4,8–5,0 4,9 11
Выборочное среднее вычислим по формуле:
x=1ni=1knixi*
x=4,1∙6+4,3∙20+4,5∙46+4,7∙23+4,9∙11106=479,6106≈4,5245
Для вычисления остальных числовых характеристик предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков:
μk=ni(xi*-x)kn (k=2,3,4)
Результаты представлены в табл. 3.
Таблица 3
Частичныеинтервалы
Середины интервалов,
Частоты,
ni
ni(xi*-x)2
ni(xi*-x)3
ni(xi*-x)4
4,0–4,2 4,1 6 1,081346 -0,459062 0,194885
4,2–4,4 4,3 20 1,008259 -0,226383 0,050829
4,4–4,6 4,5 46 0,027675 -0,000679 0,000017
4,6–4,8 4,7 23 0,708177 0,124265 0,021805
4,8–5,0 4,9 11 1,550769 0,582270 0,218626
106 4,376226 0,020412 0,486162
μk
0,041285 0,000193 0,004586
Имеем:
выборочная дисперсия: s2=μ2=0,041285;
выборочное среднее квадратическое отклонение:
s=s2=0,041285≈0,203187
выборочный коэффициент асимметрии:
A*=μ3σ3=0,0001930,2031873≈0,022955
выборочный коэффициент эксцесса:
E*=μ4σ4-3=0.0045860,2031874-3≈-0,309166
выборочный коэффициент вариации:
V=sx∙100%=0,2031874,5245∙100%=4,49%
б) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найдем теоретические частоты и проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2 .
1. Пронормируем частичные интервалы, т.е. т.е. перейдем к случайной величине U=X-xs, и вычислим концы интервалов ui=xi-xs, причем наименьшее значение U, т.е. u1, полагают равным -∞, а наибольшее – равным ∞.
Результаты вычислений сведем в таблицу 4 (столбцы 3, 4).
Таблица 4
Частичныеинтервалы ni
Нормированные интервалы Φ(ui)
Φui+1
Теоретические вероятности
pi
Теорети-ческие частоты
ni'=n∙pi
ui
ui+1
4,0–4,2 6 -∞
-1,5972 -0,5 -0,4452 0,0548 5,81
4,2–4,4 20 -1,5972 -0,6129 -0,4452 -0,2291 0,2161 22,91
4,4–4,6 46 -0,6129 0,3714 -0,2291 0,1443 0,3734 39,58
4,6–4,8 23 0,3714 1,3558 0,1443 0,4147 0,2704 28,66
4,8–5,0 11 1,3558 ∞
0,4147 0,5 0,0853 9,04
2. Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты ni'=n∙pi, где pi=Φui+1-Φ(ui) – вероятности попадания Х в интервалы xi, xi+1, Φ(x) – функция Лапласа, n=100 – объем выборки