В таблице представлены наблюдения случайной величины Х. Для данных наблюдений:
1) Определите выборочное распределение случайной величины Х и постройте многоугольник ее распределения;
2) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х. Определите для них 95% доверительный интервалы;
3) Считая, что случайная величины Х подчиняется биномиальному распределению (число опытов определяется наибольшим значением Х) расчитайте ее теоретическое распределение и постройте многоугольник ее теоретического распределения;
4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05 проверьте гипотезу о биномиальном распределении случайнойвеличины Х.
Вариант 23
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 3 3 1 3 3 2 1 3 3 1 2 3 0 3 1 2 3 4 2 2
N 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
X 2 3 3 3 1 3 3 3 2 1 3 2 3 3 3 4 3 2 2 4
Решение
Составим таблицу частот случайной величины Х.
Выборочное распределение
xi
0 1 2 3 4 ∑
ni
1 6 10 20 3 40
pi=niN
0,025 0,15 0,25 0,5 0,075 1
pi
0,023 0,143 0,338 0,356 0,141 1
pi-pi2pi
0,0002 0,0003 0,0310 0,0415 0,0581 0,1310
2) Оценка математического ожидания случайной величины Х равна среднему арифметическому ее наблюдений:
x=1Ni=1nxini=0∙1+1∙6+2∙10+3∙20+4∙340=9840=2,45
Выборочную дисперсию случайной величины Х вычислим по формуле:
Sx2=1Ni=1nxi-x2=1Ni=1nxi2ni-x2=
=02∙1+12∙6+22∙10+32∙20+42∙340-2,452=6,85-6,0025=0,8475
Несмещенная оценка дисперсии больше ее выборочного значения и равна
σx2=NN-1∙Sx2=4040-1∙0,8475=0,8692
Среднее квадратическое отклонение равно:
σx=σx2=0,8692≈0,932
Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х имеет вид:
x-σxN∙tα<MX<x+σxN∙tα
где tα – критическая точка распределения Стьюдента. По условию задачи γ=0,95, тогда α=1-γ=1-0,95=0,05. Число степеней свободы равно N-1=40-1=39
. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим, что tα=2,023. В результате получим доверительный интервал:
2,45-0,93240∙2,023<MX<2,45+0,93240∙2,023
2,152<MX<2,748
Доверительный интервал для дисперсии случайной величины Х имеет вид:
N∙Sx2χв2<DX<N∙Sx2χн2
где χн2 и χв2 соответственно нижняя и верхняя критические точки распределения χ2. При заданной доверительной вероятности 0,95, определим вероятность α=1-γ=1-0,95=0,05⇒α2=0,052=0,025. По таблице критических точек распределения χ2 с уровнем значимости 0,025 и числом степеней свободы 40-1=39 находим χв2=58,12. Затем найдем уровень значимости для нижнего критического значения 1-0,025=0,975. После этого определяем χн2=23,65. Тогда
40∙0,847558,12<DX<40∙0,847523,65
0,583<DX<1,433
3) Допускаем, что случайная величина Х подчиняется биномиальному распределению. Чтобы рассчитать теоретическое распределение, необходимо оценить его параметры
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
