В табл. представлены результаты наблюдений за х1, х2 и у:
x1 13,5 18,5 15,6 14 28 22,2 20,7 20 13,4 29,3 18,6 23,7
x2 41 39 13 47 35 23 48 14 11 23 50 33
Y 68 69 70 66 69 73 67 70 72 71 64 72
1) Найти МНК – оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии вида . Пояснить смысл полученных результатов.
2) Проверить значимость оценок параметров уравнения регрессии при уровне значимости 0,05. Сделать выводы.
3) Найти доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии при доверительной вероятности 0,95. Пояснить смысл полученных результатов.
4) Найти коэффициент детерминации. Сделать вывод.
5) Проверить значимость уравнения регрессии (коэффициента детерминации) при уровне значимости 0,05. Сделать вывод.
6) Проверить наличие гомоскедастичности при уровне значимости 0,05 (с помощью теста ранговой корреляции Спирмена). Сделать вывод.
7) Проверить наличие автокорреляции при уровне значимости 0,05 (с помощью теста Дарбина – Уотсона). Сделать вывод.
Решение
Найти МНК – оценки параметров уравнения множественной линейнойрегрессии вида у = β0 + β1х1 + β2х2 + ε. Пояснить смысл полученныхрезультатов.
По таблице исходных данных составить систему нормальных уравнений, для чего запишем следующие матрицы:
Найдем матрицу моментов:
Вычислим следующую матрицу:
Составим систему нормальных уравнений:
Решение в матричном виде будет иметь следующий вид:
где обратная матрица к матрице В.
Находим решение системы в матричном виде:
На основании полученных оценок параметров составим уравнение производственной функции:
Экономический смысл коэффициентов и в том, что это показатели силы связи, характеризующие изменение при изменении какого-либо факторного признака на единицу своего измерения при фиксированном влиянии другого фактора. Так, при изменении на один процентный пункт, измениться в том же направлении на 0,1303 ед; при изменении на один процентный пункт изменится в направлении снижения на 0,1443 ед.
Проверить значимость оценок параметров уравнения регрессии при уровне значимости 0,05. Сделать выводы.
Оценим статистическую значимость параметров чистой регрессиис помощью критерия Стьюдента. Рассчитаем стандартные ошибкикоэффициентов регрессии по формулам:
Фактические значения г-критерия Стьюдента:
и
Табличное значение критерия при уровне значимости ичисле степеней свободы составит .Таким образом, признается статистическая значимость параметров и , т.к. и , и признается статистическая не значимость параметра , т.к. .
Найти доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии при доверительной вероятности 0,95. Пояснить смысл полученных результатов.
Доверительные интервалы для параметров чистой регрессии:
,
,
Анализ верхней и нижней границ доверительного интервалаприводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, принимает нулевое значение, т.е. является статистически не значимым и не существенно отличным от нуля. Анализ верхней и нижней границ доверительного интервалаприводит к выводу о том, что с вероятностью параметр , находясь в указанных границах, не принимает нулевого значения, т.е
. является статистически значимым и существенно отличным от нуля.
Найти коэффициент детерминации. Сделать вывод.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Вычислим:
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 67,5% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов и на 32,5% — другими факторами, не включенными в модель.
Проверить значимость уравнения регрессии (коэффициента детерминации) при уровне значимости 0,05. Сделать вывод.
Оценку надежности уравнения регрессии в целом ипоказателятесноты связи дает критерий Фишера:
В нашем случае фактическое значение F-критерия Фишера:
Получили, что(при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .
6)Проверить наличие гомоскедастнчности при уровне значимости 0,05 (с помощью теста ранговой корреляции Спирмена). Сделать вывод.
Присвоим ранги признаку ei и фактору X1.
Данные для расчета коэффициента представлены в таблице 2.
Таблица 2
X1 ei ранг X, dx ранг ei, dy
3007 0,952795 11 4
2844 1,012502 8 3
2861 -1,36083 9 10
3259 -0,24669 10 7
3350 -0,80291 2 9
3344 2,22171 4 2
2704 0,02428 5 6
3642 -1,79007 6 11
2753 0,637368 12 5
2916 -0,70374 1 8
3551 -2,41343 7 12
3177 2,469012 3 1
Сумма 78 78
Матрица рангов.
ранг X, dx
ранг ei, d ei (dx - d ei)2
11 4 49
8 3 25
9 10 1
10 7 9
2 9 49
4 2 4
5 6 1
6 11 25
12 5 49
1 8 49
7 12 25
3 1 4
78 78 216
Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:
Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.
В таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как:
В таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как:
Связь между остатками ei и фактором X слабая и обратная.
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена.Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе Hi
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
