В результате экспериментальных исследований сталебетонных плит на изгиб была получена зависимость несущей способности N, кН, от деформаций ɛ в бетоне в центре сечения.
Методом наименьших квадратов найти аналитическую зависимость N= f (ɛ).
Определить нагрузку N при ɛ = 24·10-5
Ответ
N(ɛ)=-21,2485±2185,15-4,788*10-4ɛ5,73.
Решение
Поскольку существуют точки, в которых при одном и том же значении ɛ есть два значения N, то прямую функциональную зависимость N(ɛ) построить не получится. Поэтому построим зависимость ɛ(N), а потом обратим её. Судя по графику, подойдёт функция ɛN=aN2+bN+c
Для удобства вычислений переведём данные эксперимента в табличный вид:
N 2,5 4,5 5,5 8 10 12 14,5 17,5 19,5 20,5
ε*10-5
8 11 14 20 29 33 39 45 51 55
N 21 24 25,5 27,5 30 32 34 35,5 38 40
ε*10-5
50 45 40 38 31 28 25 20 12 9
Составим выражение для суммы квадратов отклонений и найдём при каких a b и c она минимальна.
F=i=120(aNi2+bNi+c-εi)2==i=120(aNi2+bNi)2+2(aNi2+bNi)(c-εi)+(c-εi)2=
=a2i=120Ni4+2abi=120Ni3+b2+2aci=120Ni2-2ai=120Ni2εi+2bci=120Ni--2bi=120Niεi+20c2-2ci=120εi+i=120εi2=
Вычислим частные производные Fa' Fb' и Fc' F , приравняем их к нулю и решим полученную систему уравнений:
Fa'=2ai=120Ni4+2bi=120Ni3+2ci=120Ni2-2i=120Ni2εi=0,
Fb'=2ai=120Ni3+2bi=120Ni2+2ci=120Ni-2i=120Niεi=0,
Fc'=2ai=120Ni2+2bi=120Ni+40c-2i=120εi=0;
Составим таблицу вспомогательных вычислений:
i
Ni
εi
Ni2
Ni3
Ni4
Niεi
Ni2εi
1 2.5 8 6.25 15.625 39.0625 20 50
2 4.5 11 20.25 91.125 410.0625 49.5 222.75
3 5.5 14 30.25 166.375 915.0625 77 5.5
4 8 20 64 512 4096 160 1280
5 10 29 100 1000 10000 290 2900
6 12 33 144 1728 20736 396 4752
7 14.5 39 210.25 3048.625 44205.0625 565.5 8199.75
8 17.5 45 306.25 5359.375 93789.0625 787.5 13781.25
9 19.5 51 380.25 7414.875 144590.0625 994.5 19392.75
10 20.5 55 420.25 8615.125 176610.0625 1127.5 23113.75
11 21 50 441 9261 194481 1050 22050
12 24 45 576 13824 331776 1080 25920
13 25.5 40 650.25 16581.375 422825.0625 1020 26010
14 27.5 38 756.25 20796.875 571914.0625 1045 28737.5
15 30 31 900 27000 810000 930 27900
16 32 28 1024 32768 1048576 896 28672
17 34 25 1156 39304 1336336 850 28900
18 35.5 20 1260.25 44738.875 1588230.0625 710 25205
19 38 12 1444 54872 2085136 456 17328
20 40 9 1600 64000 2560000 360 14400
Сумма 422 603 11489.5 351097.25 11444664.625 12864.5 319238.25
Итак, получим систему уравнений:
11444664.625a+351097.25b+11489.5c=319238.25,351097.25a+11489.5b+422c=12864.5, 11489.5a+422b+40c=603;
Решаем полученную систему линейных уравнений и получаем:
a≈-0,1197 b≈5,0869 c≈-8,4065.
Итак, ɛN=aN2+bN+c=-0,1197N2+5,0869N-8,4065
Найдём обратную функцию:
ɛ=-0,1197N2+5,0869N-8,4065=>
N(ɛ)=-b2a±ɛ*4a+b2-4ac4a2≈21,2485±2185,15-4,788*10-4ɛ5,73
Где плюс соответствует верхней ветви, а минус – нижней
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
