В результате эксперимента получена таблица значений несущей способности Р

Нанесём точки на координатную плоскость для определения вида уравнения регрессии:
Из графика видно, что линейного уравнения регрессии достаточно для описания зависимости.
P=a0+a1σ
В соответствии с методом наименьших квадратов, составим выражение для F – суммы квадратов отклонений эмпирических значений от линии регрессии и найдём такие значения параметров a0 и a1, при которых F минимальна.
F=i=17(a0+a1σi-Pi)2=(a0+20a1-11)2+(a0+60a1-10,2)2+(a0+100a1-10)2+(a0+120a1-9,6)2+(a0+150a1-9,2)2+(a0+180a1-8,5)2+(a0+200a1-8,2)2
Чтобы найти минимальные значения F, приравняем к нулю частные производные и решим полученную систему уравнений:
∂F∂a0=0∂F∂a1=0;,
∂F∂a0=27a0+830a1-66,7=0;
∂F∂a1=40a0+20a1-11+120a0+60a1-10,2+200a0+100a1-10+240a0+120a1-9,6+300a0+150a1-9,2+360a0+180a1-8,5+400a0+200a1-8,2=
=2830a0+123 300a1-7 534=0
7a0+830a1-66,7=0,830a0+123 300a1-7 534=0; умножаем первое уравнение на 830
5 810a0+688 900a1=55 361,830a0+123 300a1=7 534; умножаем второе уравнение на -7
5 810a0+688 900a1=55 361,-5 810a0-863 100a1=-52 738; складываем оба уравнения
-174 200a1=2 623,a0=(667-8 300a1)/70;
a0=197189/17420≈11,32,a1=-2623174200≈-0,015.
Итак, P(σ) = 11,32 -0,015σ,
Вычислим коэффициент корреляции
r=i=17(σi-σ)(Pi-P)i=17(σi-σ)2i=17(Pi-P)2
Где σ=17i=17σi=17*830≈118,57,
а P=17i=17Pi=17*66,7≈9,53
r=-98,57*1,47-58,57*0,67-18,57*0,47+1,43*0,07-31,43*0,33-61,43*1,03-81,43*1,33(98,572+58,572+18,572+1,432+31,432+61,432+81,432)(1,472+0,672+0,472+0,072+0,332+1,032+1,332)
r=-374,7124885,71*5,77≈-1
Приведём таблицу расчетных значений и вычислим погрешность
σ 20 60 100 120 150 180 200
Р 11 10,2 10 9,6 9,2 8,5 8,2
PP
11,02 10,42 9,82 9,52 9,07 8,62 8,32
k=i=17(Pi-PPi)27≈0,13337≈0,14
Ответ: P(σ) = 11,32 -0,015σ, P(80)=10,12 МПа.