В нецентральном кривошипно-шатунном механизме ползун В движется в прямолинейных направляющих, образующих угол α с направлением горизонтали.
Дано: OA=r=0,2м, AB=l=0,8м, OC=a=0,1м, MB=l3,φ=ωt, t1=120c, ω=20π.
Решение
Для нахождения уравнений движения точки М выразим ее координаты как функцию времени. Изобразим заданный механизм в произвольном положении и определим координаты x,y точки М:
x=ON=OK+KN=OA∙cosφ+AM∙cosδ;
y=OL+LP=OA∙sinφ+AM∙sinδ.
Так как кривошип ОА вращается равномерно, то φ=ωt.
AM=AB-BM=l-l3=23l.
Рассмотрим трапецию OAEC, основание AE=OC-AKctgφ+ctg180-α=
= OC-OC∙sinφ∙ctgφ-ctgα=a-acosφ+asinφctgα.
Исходя из треугольника ∆ABE угол δ=α-θ. По теореме синусов ABsin(180-α)=AEsinθ→sinθ=AEsinαAB=a-acosφ+asinφctgαsinαl, а cosθ=1-a-acosφ+asinφctgαsinαl2.
Подставляя полученные данные уравнение точки М примет следующий вид:
x=r∙cosωt+23l∙cosα-θ=r∙cosωt+23lcosα∙cosθ+sinα∙sinθ=
=r∙cosωt+23∙lcosα∙1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2+
+23∙sin2α∙a-acosωt+asinωt∙ctgα;
y=r∙sinωt+23l∙sinα-θ=r∙sinωt+23l∙sinα∙cosθ-cosα∙sinθ=
=r∙sinωt+23l∙sinα∙1-a-acosωt+asinωtctgαsinαl2-
-23l∙cosα∙a-acosωt+asinωtctgαsinαl.
Найдем выражение для проекции скорости точки M на оси координат:
Vx=dxdt=-rωsinωt+23∙sin2α∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα-
-23∙lcosα2a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα∙sin2α2∙l2∙1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2=
=-rωsinωt+23∙sin2α∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα-
-23l∙cosα∙sin2αa-acosωt+asinωt∙ctgα∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2;
Vy=dydt=rωcosωt-23l∙cosα∙sinα∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα-
-23l∙sinα2∙a-acosωt+asinωtctgαsinα∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα2l2∙1-a-acosωt+asinωtctgαsinαl2=
= rωcosωt-23∙cosα∙sinα∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα-
-23l∙sin3αa-acosωt+asinωtctgα∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα1-a-acosωt+asinωtctgαsinαl2,
и модуль скорости
V=Vx2+Vy2.
Проекция ускорения точки М на оси координат будут равны:
ax=dVxdt=-rω2cosωt+23∙sin2α∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα-
-23l∙cosα∙sin2α∙((aω∙sinωt+aω∙cosωt∙ctgαaω∙sinωt+aω∙cosωt∙ctgα+
+a-acosωt+asinωt∙ctgα∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα)∙∙1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2-
-a-acosωt+asinωt∙ctgα∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα∙
∙-sin2αl2aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgαa-acosωt+asinωt∙ctgα1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2)∙
∙11-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2=
=rω2cosωt+23∙sin2α∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα—23l∙cosα∙sin2α∙
((aω∙sinωt+aω∙cosωt∙ctgα2+a-acosωt+asinωt∙ctgα∙
∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα)∙1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2+
+sin2α∙a-acosωt+asinωt∙ctgα2∙aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα2l21-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2)∙
∙11-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2∙;
ay=dVydt=-rω2sinωt-23∙cosα∙sinα∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα-
-2sin3α3l((-aω∙sinωt+aω∙cosωt∙ctgαaω∙sinωt+aω∙cosωt∙ctgα+
+a-acosωt+asinωt∙ctgα∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα)∙∙1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2-
-a-acosωt+asinωt∙ctgα∙aωsin+aω∙cosωt∙ctgα∙
∙-sin2αl2aωsinωt+aω∙cosωt∙ctgαa-acosωt+asinωt∙ctgα21-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2)/
11-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2=-rω2sinωt-23∙cosα∙sinα∙
∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα-2sin3α3l((aω∙sinωt+aω∙cosωt∙ctgα2+
+a-acosωt+asinωt∙ctgα∙aω2cosωt-aω2∙sinωt∙ctgα)∙∙1-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2+
+sin2αaωsinωt+aω∙cosωt∙ctgα2∙a-acosωt+asinωt∙ctgα2l21-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2)∙
∙11-a-acosωt+asinωt∙ctgαsinαl2
А модуль ускорения
a=ax2+ay2.
Подставляя исходные данные в полученные уравнения, получим:
x=-0,2+23∙0,8cos30∙1-0,1+0,1sin300,82+23∙sin230∙0,1+0,1=0,292 м;
y=23∙0,8∙sin30∙1-0,1+0,1sin300,82-23∙cos30∙sin300,1+0,1=0,207 м;
Vx=-23∙sin230∙0,1∙20∙π∙ctg30+23∙0,8∙cos30∙sin2300,1+0,1∙0,1∙20∙π∙ctg301-0,1+0,1sin300,82=
=-1,418 м/с;
Vy=-0,2∙20∙π∙+23∙cos30∙sin30∙0,1∙20∙π∙ctg30+
+23∙0,8∙sin3300,1+0,1∙0,1∙20∙π∙ctg301-0,1+0,1sin300,82=-9,196 м/с,
V=-1,4182+-9,1962=9,304 м/с;
ax=0,2∙20π2-23∙0,1∙20π2∙sin230-23l∙cosα∙sin2α∙((-0,1∙20∙π∙ctg302+0,1+0,1∙
∙-0,1∙(20π)2)∙1-0,1+0,1sin300,82+sin230∙0,1+0,12∙-0,1∙20∙π∙ctg3020,821-0,1+0,1sin300,82)∙
∙11-0,1+0,1sin300,82=716,25 м/с2;
ay=-23∙cos30∙sin30∙-0,1∙20π2-2sin3303∙0,8((-0,1∙20∙π∙ctg302+
+0,1+0,1∙-0,1∙20π2)∙1-0,1+0,1sin300,82+
+sin230-0,1∙20∙π∙ctg302∙0,1+0,120,821-0,1+0,1sin300,82)∙11-0,1+0,1sin300,82=109,62 м/с2;
a=716,252+106,622=724,14 м/с2.
на новый заказ в Автор24.
