В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) начальное распределение температуры определяется функцией fx. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теплоэнергетике и теплотехнике
В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) начальное распределение температуры определяется функцией fx

В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) начальное распределение температуры определяется функцией fx .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) начальное распределение температуры определяется функцией fx. Определить распределение температуры в стержне при t>0, если fx=U0x/l. Концы стержня поддерживаются при постоянной температуре ux=0=ux=l=U0=const.

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

ux,t=U0-2πn=1∞U0-U0-1n+U0ne-aπnl2tsinπnxl.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Распределение температуры стержня ux,t описывается одномерным уравнением теплопроводности
ut=a2uxx, 0<x<l, t>0,
(1)
начальное условие
ut=0=U0xl,
(2)
граничные условия
ux=0=ux=l=U0.
(3)
Сведем предварительно начально-краевую задачу (1) − (3) к задаче с однородными граничными условиями (3). Для этого ux,t представим в виде
ux,t=U0+vx,t.
(4)
Тогда для функции vx,t получим следующую постановку задачи
vt=a2vxx,
(5)
vt=0=ut=0-U0=U0xl-U0,
(6)
vx=0=0, vx=l=0.
(7)
Для решения задачи (5) − (7) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
vx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (5)
Xx∙T' (t)=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T' (t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к . левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T'(t)+a2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя vx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (7), получим
X0⋅Tt=0, Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λl=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πnl2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnxl, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+aπnl2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения
Tnt=Ane-aπnl2t.
Решение задачи (5) − (7) представим в виде
vx,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Ane-aπnl2tsinπnxl.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (6)
vt=0=n=1∞Ansinπnxl=U0xl-U0.
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции U0xl-U0 в ряд Фурье по собственным функциям sinπnxln=1∞
An =2l0lU0xl-U0sinπnxldx=2l0lU0xl-U0-lπndcosπnxl=
=-2πnU0xl-U0cosπnxl0l-U0l0lcosπnxldx=
=-2πnU0-U0-1n+U0-U0πnsinπnxl0l=0=-2U0-U0-1n+U0πn.
Таким образом, решение задачи (5) − (7) имеет вид
vx,t=-n=1∞2U0-U0-1n+U0πne-aπnl2tsinπnxl.
А решение исходной задачи (1) − (3) будет
ux,t=U0-2πn=1∞U0-U0-1n+U0ne-aπnl2tsinπnxl.
Ответ:
ux,t=U0-2πn=1∞U0-U0-1n+U0ne-aπnl2tsinπnxl.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) начальное распределение температуры определяется функцией fx

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

Решение

Для теоретического цикла ГТУ с подводом теплоты при постоянном давлении определить параметры рабочего тела (воздуха) в характерных точках цикла

Плоская стальная стенка толщиной δ1=4 мм (λ1=40 Вт/(м∙К)) с одной стороны омывается газами

Для района города новой застройки с жилой площадью Fж = 970 000 м2 определяем по укрупненным показателям суммарную тепловую нагрузку отопления