В электрической цепи в которой выполняется коммутация

Классический метод
Обозначим на схеме недостающие токи (рис.5.1).
Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа после коммутации
i1-ic-i=0i1R1+uc+icR2=Ei1R1+Ldidt=E
Изобразим схему цепи до коммутации (рис.5.2) и по ней запишем независимые начальные условия
Рис.5.2. Схема цепи до коммутации с разомкнутым ключом
Записываем независимые начальные условия в соответствии с первым и вторым законами коммутации:
i0_=i0+=i0=ER1+R3=1201+1=60 A
с учетом того, что индуктивность при протекании постоянного тока имеет нулевое сопротивление, получим
UC0_=UC0+=UC0=i0R3=60∙1=60 B
Изобразим схему в установившемся режиме
Рис.5.3. Схема в установившемся режиме при замыкании ключа
Параметры установившегося режима:
С учетом того, что конденсатор (емкость) не проводит постоянный ток, в установившемся режиме протекание тока будет только по внешнему контуру цепи через катушку и сопротивление R1, и величина этого тока будет ограничена сопротивлением R1. Поэтому в установившемся режиме
iу=i1у=ER1=1201=120 A
Определяем корни характеристического уравнения и вид свободной составляющей. Для этого находим эквивалентное сопротивление цепи при коммутации относительно точек разрыва (рис.5.4):
Рис.5.4. Определение характеристического сопротивления
Выражение характеристического сопротивления имеет вид:
Zp=pLR2+1pCpL+R2+1pC+R1
Приводим к общему знаменателю и получим
Zp=pLR2+1pC+R1pL+R2+1pCpL+R2+1pC
Для упрощения выражения числителя (для избавления от дробей) для его дальнейшего приравнивания нулю, домножим и числитель и знаменатель на множитель pC. Получим
Zp=pLpCR2+1+R1p2LC+pCR2+1p2LC+pCR2+1
Приравниваем числитель к нулю
pLpCR2+1+R1p2LC+pCR2+1=0
Раскрываем скобки
p2LCR2+pL+p2LCR1+pCR2R1+R1=0
Упрощаем, вынося общие множители за скобки
p2LCR2+R1+pL+CR2R1+R1=0
После подстановки исходных данных получим
p2·1·10-3∙10·10-62+1+p1·10-3+10·10-6∙2∙1+1=0
3·10-8p2+0,00102p+1=0
Решаем данное квадратное уравнение, находим дискриминант D и корни p1 и p2 этого уравнения
D=b2-4ac=0,001022-4∙3·10-8∙1=9,204∙10-7
p1=-b+D2a=-0,00102+9,204∙10-72∙3·10-8=-1010,4
p2=-b-D2a=-0,00102-9,204∙10-72∙3·10-8=-32989,6
Корни характеристического уравнения получились вещественные и различные, значит, переходный процесс будет апериодическим.
Свободная составляющая будет иметь вид
iсв=A1e-1010,4t+A2e-32989,6t
Полный искомый ток i равен
i=iу+iсв=120+A1e-1010,4t+A2e-32989,6t
С учетом начальных условий, рассчитанных ранее, для времени t=0 запишем
i0+=120+A1e-1010,4·0+A2e-32989,6∙0=60
120+A1+A2=60
откуда
A1+A2=-60 . Это будет первое уравнение системы уравнений
Для получения второго уравнения запишем систему уравнений для t=0+
i1(0+)-ic(0+)-i(0+)=0i1(0+)R1+uc(0+)+ic(0+)R2=Ei1(0+)R1+Ldi(0+)dt=E
Из 2-го уравнения i1(0+)R1+uc(0+)+ic(0+)R2=E с учетом начальных условий, найденных ранее, т.е. uc0+=60, а также из первого уравнения следует, что
ic0+=i10+-i(0+)
тогда
i1(0+)R1+60+(i10+-i(0+))R2=120
i10+R1+i10+R2-i0+R2=120-60
Так как при начальных условиях
i0+=60 A, то
i10+·1+i10+·2-60·2=60
3i10+=60+60·2=180
i10+=1803=60
Тогда, подставив найденные значения в третье уравнение системы при найденном значении i10+=60 А и L=1мГн=0,001Гн, Е=120 В получим
60+0,001di(0+)dt=120
0,001di(0+)dt=120-60
0,001di(0+)dt=60
di(0+)dt=600,001=60000
Продифференцируем ранее полученное выражение для тока
i=120+A1e-1010,4t+A2e-32989,6t
didt=120+A1e-1010,4t+A2e-32989,6t'=-1010,4A1e-1010,4t-32989,6A2e-32989,6t
Запишем его для момента времени t=0+
didtt=0+=-1010,4A1-32989,6A2
Таким образом, получили второе уравнение системы