В цилиндре 1 кг воздуха сжимается в одном случае по изотерме, а в другом — по политропе со средним показателем n = 1,2 так, что объем уменьшается в ε раз. Определить конечные значения температуры, давления и плотности воздуха, а также работу, изменение энтропии в процессах сжатия. Начальные параметры: р1 = 750 мм рт. ст. и t1,℃. Теплоемкость воздуха считать не зависящей от температуры.
Дано:
m=1 кг;
p1 = 750 мм рт. ст.=105Па=1 бар;
t1=47 ℃=320 К;
ε=V1V2=8;
n = 1,2;
k=1,4;
R=287Джкг∙К;
cp=const.
Найти:
p2 ; T2; ρ2 ;L; ∆S для изотермического и политропного процессов.
Ответ
Параметр/процесс Изотерма Политропа, n=1,2
T2 , К
320 485,0
p2 , бар
8 12,126
ρ2 , кгм3
8,7108 8,7108
Lсж, кДж
190,98 236,82
Qотв, кДж
190,98 118,41
ΔS, Дж/К
‒596,8 ‒298,4
Решение
Определяем недостающие параметры воздуха в точке 1 (начало сжатия)
Плотность воздуха ρ1
ρ1 =p1RT1=105287∙320=1,08885 кгм3 ;
Объём воздуха V1
V1=mρ1 =11,08885=0,9184 м3.
Расчет политропного процесса сжатия
Конечный объём воздуха
V2=V1ε=0,91848=0,1148 м3;
Конечное давление воздуха
p2 =p1∙V1V2n=p1∙εn=1∙81,2=12,126 бар=12,126∙105 Па;
Конечная температура воздуха
T2 =T1∙V1V2n-1=T1∙εn-1=320∙80,2=320∙1,5157=485,0 K==212,0 ℃;
или
T2 =p2∙V2mR=12,126∙105∙0,11481∙287=485 K;
Конечная плотность воздуха — увеличивается во столько же раз, во сколько уменьшается объём, не зависимо от процесса:
ρ2 =ρ1 ∙V1V2=ρ1 ∙ε=1,08885∙8=8,7108 кгм3 ;
Работа сжатия воздуха в политропном процессе
Lсж=mRn-1T2-T1 =1∙2870,2485-320=236,82 кДж;
Изменение энтропии в политропном процессе равно:
∆S=mcvn-kn-1lnT2T1 =mRk-1∙n-kn-1lnεn-1=
=mRk-1∙n-kn-1n-1∙lnε=mRn-kk-1∙lnε=
=1∙287∙1,2-1,41,4-1∙ln8=-298,4 ДжК.
Изменение энтропии в политропном процессе можно найти, предварительно вычислив удельную теплоёмкость политропного процесса cn:
cn=cv∙n-kn-1=Rk-1∙n-kn-1=2871,4-1∙1,2-1,41,2-1=2870,4-1==-717,5 Джкг∙К;
где cv- удельная изохорная теплоёмкость воздуха, равная
cv=Rk-1=2871,4-1=717,5 Джкг∙К.
Для воздуха при показателе политропы n=1,2 cn=-cv;
∆S=m∙cn∙ lnT2T1 =1∙-717,5∙ ln485320=-717,5∙0,41589=
=-298,4 ДжК.
Теплота, отведенная в политропном процессе сжатия
Qотв=-mcnT2-T1 =-1∙-717,5∙485-320=118,41 кДж,
при показателе политропы n=1,2 численно равна половине работы сжатия:
Qотв=0,5∙Lсж .
Расчет изотермического сжатия
Температура воздуха в процессе изотермического сжатия не меняется
T2 =T1=320 K=47 ℃;
Конечный объём воздуха будет такой же, как и в конце политропного процесса сжатия:
V2=V1ε= 0,91848=0,1148 м3;
Конечная плотность воздуха будет такой же, как в конце политропного процесса сжатия:
ρ2 =ρ1 ∙V1V2=ρ1 ∙ε=1,08885∙8=8,7108 кгм3 ;
Конечное давление воздуха обратно пропорционально изменению объёма
p2 =p1∙V1V2=p1∙ε=1∙8= 8 бар= 8 ∙105 Па;
Работа сжатия в изотермическом процессе
Lсж=mRT1 ∙lnV1V2=mRT1 ∙lnε=1∙287∙320∙ln8=190976 Дж=
=190,98 кДж;
Теплота, отведенная в изотермическом процессе сжатия численно равна работе сжатия
Qотв=Lсж=190,98 кДж;
Изменение энтропии в изотермическом процессе равно:
∆S=mR∙lnV2V1=mR∙ln1ε=-mR∙lnε=-1∙287∙ln8=
=-596,8ДжК ;
или
∆S=-QотвT1 =-190976320=-596,8ДжК .
Получили, что в изотермическом процессе изменение энтропии по модулю ∆S в два раза больше, чем в политропном процессе с показателем политропы n=1,2.
Ответ:
Параметр/процесс Изотерма Политропа, n=1,2
T2 , К
320 485,0
p2 , бар
8 12,126
ρ2 , кгм3
8,7108 8,7108
Lсж, кДж
190,98 236,82
Qотв, кДж
190,98 118,41
ΔS, Дж/К
‒596,8 ‒298,4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
