В трехканальную систему без отказов поступает простейший поток заявок интенсивностью λ=3мин-1

Число каналов 3.
Длина очереди ∞.
Интенсивность потока заявок λ=3.
Среднее время обслуживания 1μ=0.25.
Имеем многоканальную СМО с неограниченной длиной очереди. В такой СМО при ρn<1 все заявки будут обслужены.
ρn=λ3μ=13∙34=0.25<1
Состояния СМО представляются следующим образом:
S0 – все каналы обслуживания свободны,
S1 – занят один канал обслуживания, очереди нет,
S2 - занято два канала обслуживания, очереди нет,
S3 - занято три канала обслуживания, очереди нет,
S3+i – все каналы заняты, в очереди i заявок, i=1,2,3,… ,
Граф такой СМО представлен на рисунке:
Запишем уравнения Колмогорова для этой системы (стационарный вариант):
-λp0+μp1=0λp0-λ+μp1+2μp2=0λp1-λ+2μp2+3μp3=0λp2-λ+3μp3+3μp4=0λp3-λ+3μp4+3μp5…λpk-1-λ+3μpk+3μpk+1=0…p0+p1+p2+p3+…=1
Из первого уравнения:
p1=λμp0
Складывая первое и второе получаем:
p2=λ2μp1
Таким образом при k≤n=3:
pk=ρkk!p0,
а при k>n=3:
pn+i=ρn+inin!p0; p3+i=ρ3+i3i3!p0
Из нормировки p0+p1+…=1 получаем:
p0=1+ρ+ρ22!+…ρnn!+ρn+1n∙n!+ρn+2n2n!+…+ρn+mnmn!+…-1=
=1+ρ+ρ22!+…ρn-1(n-1)!+ρn(n-1)!∙1n-ρ-1
При n=3:
p0=1+ρ1!+ρ22!+ρ32!∙13-ρ-1
Выведем основные характеристики СМО.
Поступившая в СМО заявка всегда будет обслужена, поэтому
Pотк=0
Относительная пропускная способность СМО равна
Q=1-pотк=1
Абсолютная пропускная способность
A=λ∙Q=λ
Среднее число заявок, стоящих в очереди Lоч, находится по формуле:
Lоч=ρn+1n!∙nn-ρ2p0
Lобсл – среднее число заявок, обсуживающихся в СМО
Lобсл=ρ
Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам:
Tоч=Lочλ,
Tсист=Lочλ+Qμ=Tоч+tобсл
Вероятность образования очереди:
pоч=ρn+1n!∙1n-ρp0
Рассчитаем основные характеристики СМО для заданного варианта.
n=3;λ=3; 1μ=0.25, ρ=λμ=0.75
Вероятность простоя системы:
p0=1+ρ1!+ρ22!+ρ32!∙13-ρ-1=1+0.751!+0.7522!+0.7532!∙13-0.75-1=817
p0≈0.4706
Некоторые вероятности:
p1=ρ1!p0=617
p2=ρ22!p0=968
p3=ρ33!p0=9272
…
pn+i=ρn+inin!p0
Вероятность образования очереди:
pоч=ρn+1n!∙1n-ρp0=0.7543!∙13-0.75∙817≈0.011
Вероятность отказа:
Pотк=0
Относительная пропускная способность находится по формуле:
Q=1-Pотк=1
Коэффициент загрузки:
Kз=λ∙Qnμ=λnμ=0.753=0.25 (25%)
Коэффициент простоя:
Kпр=1-Kз=0.75 (75%)
Абсолютная пропускная способность:
A=λ∙Q=λ=3 заявки в минуту
Среднее число заявок, обслуживаемое в СМО:
Lобс=ρ=0.75
Средняя длина очереди:
Lоч=ρn+1n!∙nn-ρ2p0=0.7543!∙33-0.752∙817≈0.0147
Среднее количество занятых каналов:
nз=Aμ=λμ=ρ=0.75
Среднее число заявок в системе (обслуживаемых и в очереди):
Lсист=Lобс+Lоч=0.7647
Среднее время пребывания заявки в очереди:
Tоч=Lочλ=0.01473≈0.0049 мин
Среднее время пребывания заявки в системе:
Tсист=Lочλ+Qμ=Lочλ+1μ=0.01473+14≈0.2549 мин
Таким образом, все заявки будут обслужены