В центре толстостенной металлической оболочки радиусами R1 = 5 см и R2=10 см, несущей заряд q = 10 нКл, находится точечный заряд q0 = -5 нКл. Найти напряженность и потенциал электростатического поля на расстояниях: 1) r1 = 3 см, 2) r2 = 7 см, 3) r3 = 15 см от центра. Построить графики качественных зависимостей Er(r) и (r).
Дано:
q = 10 нКл =10-8 Кл
q0 = -5 нКл = 510-9 Кл
R1 = 5 см = 0,05 м
R2 = 10 см = 0,1 м
r1 = 3 см = 0,03 м
r2 = 7 см = 0,07 м
r3 = 15 см = 0,15 м
Eri – ? i =1, 2,3
ri – ? i =1, 2,3
Ответ
Err1=-5,0104 Вм; Err2=0; Err3=2,0103 Вм;
r1=-150 В; r2=450 В; r3=300 В.
Решение
На рисунке стрелками показаны линии напряженности, пунктирными линиями – линии равного потенциала. В центре – заряд q0.
Определение напряженности
Внутри металлического шарового слоя, в области R1 < r < R2, напряженность электростатического поля равна нулю, так как в противном случае это поле вызовет в проводниках перемещение зарядов до тех пор, пока новое распределение зарядов не приведет к уничтожению поля. На шаре весь заряд окажется на его поверхности: на внутренней поверхности оболочки появится заряд +|q0|, а на внешней, по закону сохранения заряда, q – |q0|.
Напряженность поля вне проводников найдем по теореме Гаусса: поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен отношению суммарного заряда, заключенного внутри этой поверхности, и электрической постоянной.
SEdS=qi0.
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м – электрическая постоянная,
Для заряда в центре шара и заряженного шара поле должно иметь сферическую симметрию, поэтому выберем поверхность интегрирования в виде сферы радиуса r, концентрическую шару
. Вектор напряженности, в силу симметрии, должен располагаться нормально к поверхности выбранной таким образом сферы интегрирования в любой ее точке. Теорему Гаусса, для данного случая, можно записать в виде:
SErdS=qi0.
Здесь Er проекция вектора напряженности на радиус-вектор, проведенный из центра сферы.
В силу симметрии, модуль вектора напряженности на поверхности интегрирования при r = const должен иметь одинаковое значение, так как определяется на одинаковом расстоянии от центра, поэтому интеграл можно представить в виде:
SErrdS=ErrSdS=ErrS=Err4r2
Таким образом:
Err4r2=qi0.
Err=qi40r2.
В области r < R1 внутрь поверхности интегрирования попадает только заряд q0, поэтому:
Err=q040r2.
Зависимость напряженности от расстояния:
Err=-510-948,8510-12r2=-45r2 Вм
Тогда:
Err1=-45r12=450,032=-5,0104 Вм.
Знак минус указывает, что вектор напряженности направлен к центру.
В области R1 < r < R2, внутри проводника, поля нет:
Err2=0
В области r > R2 внутрь поверхности интегрирования попадает заряд q+q0, поэтому:
Err=q+q040r2.
Зависимость напряженности от расстояния:
Err=10-8-510-948,8510-12r2=45r2 Вм.
Таким образом:
Err3=45r32=450,152=2,0103 Вм.
Определение потенциала
Чтобы найти разность потенциалов (r), воспользуемся формулой связи потенциала и напряженности, которая в данном случае имеет вид:
Err=-ddr.
Разделим переменные:
d=-Errdr;
Найдем разность потенциалов между двумя точками, лежащими вдоль радиуса:
12d=-12Errdr.
Проведем расчет потенциала для отдельных областей
В области r R2
Для того, чтобы найти потенциал в точке r R3 выполним интегрирование от r до бесконечности и учтем, что на бесконечности потенциал принят равным нулю:
(r)0d=-r∞Errdr.
-(r)=-r∞q+q040r2dr.
-r=q+q0401∞-1r
r=q+q040r.
Зависимость потенциала от расстояния:
r=10-8-510-948,8510-12r=45r В.
Вычислим потенциалы:
r3=45r3=450,15=300 В.
R2=45R2=450,1=450 В.
В области R1 r < R2
В этой области напряженность поля равно нулю, поэтому потенциал не меняется:
r2=R2=R1=450 В.
В области r < R1
Выполним интегрирование от произвольной точки внутри оболочки до поверхности оболочки:
(r)R1d=-rR1q040r2dr.
R1-(r)=q0401R1-1r.
R1-r=q0401R1-1r
r=R1-q040R1+q040r.
Зависимость потенциала от расстояния:
r=10-8-510-948,8510-12r=45r В.
r=450--510-948,8510-120,05+-510-948,8510-12r=450+900-45r ,В.
r=1350-45r ,В.
r1=1350-450,03=-150 (В).
Построим в EXCEL графики качественных зависимостей Er(r) и (r):
Ответ: Err1=-5,0104 Вм; Err2=0; Err3=2,0103 Вм;
r1=-150 В; r2=450 В; r3=300 В.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
