Участок электрической цепи, представленный на схеме, содержит размыкающие и замыкающие контакты пяти реле. Каждое реле функционирует независимо от остальных и при включении срабатывает с вероятностями:
p1=0,8; p2=0,4; p3=0,6; p4=0,3; p5=0,5
Каждое реле включили ровно один раз. С какой вероятностью после этого:
а) участок цепи пропускает постоянный ток
б) участок цепи не пропускает постоянный ток, если реле P2 сработало
в) реле P3 сработало, если участок цепи пропускает постоянный ток?
Вероятности вычислять с точностью до 0,0001
Ответ
PA=0,3808 PAB=0,648 PCA=0,6303
Решение
Обозначим события:
A - участок пропускает постоянный ток
B – реле Р2 сработало
С – реле Р3 сработало
Участок цепи будет пропускать ток, если 1 реле сработает и 5 сработает и 2 не сработает, 1 реле сработает и 5 сработает и 3 сработает, либо 1 реле сработает и 5 сработает и 4 не сработает
p1=0,8 => p1=1-p1=0,2;
p2=0,4 => p2=1-p2=0,6;
p3=0,6 => p3=1-p3=0,4;
p4=0,3 => p4=1-p4=0,7;
p5=0,5 => p5=1-p5=0,5;
Составим таблицу всех элементарных исходов срабатывания реле:
N 1 2 3 4 5 p
A
1 - - - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
2 - - - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
3 - - - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
4 - - - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
5 - - + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0252
6 - - + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0252
7 - - + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0108
8 - - + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0108
9 - + - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0112
10 - + - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0112
11 - + - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0048
12 - + - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0048
13 - + + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
14 - + + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0168
15 - + + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
16 - + + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0072
17 + - - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
18 + - - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
+
19 + - - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
20 + - - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
+
21 + - + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,1008
22 + - + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,1008
+
23 + - + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0432
24 + - + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0432
+
25 + + - - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0448
26 + + - - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0448
+
27 + + - + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0192
28 + + - + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0192
29 + + + - - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
30 + + + - + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0672
+
31 + + + + - p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
32 + + + + + p=p1∙p2∙p3∙p4∙p5=0,0288
+
Чтобы получить вероятность P(A) найдем все элементарные исходы, удовлетворяющие условию A:
PA=0,0672+0,0288+0,1008+0,0432+0,0448+0,0672+0,0288=0,3808
PA=1-PA=1-0,3808=0,6192
Условные вероятности найдем по формулам:
PAB=P(A∙B)P(B) PCA=P(C∙A)P(A)
Рассмотрим варианты, когда 2 реле сработало и тока в цепи нет: (положения 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 25, 27, 28, 29, 31)
PA∙B=0,0112+0,0112+0,0048+0,0048+0,0168+0,0168+0,0072+0,0072+
+0,0448+0,0192+0,0192+0,0672+0,0288=0,2592
PAB=0,25920,4=0,648
Рассмотрим варианты, когда 3 реле сработало и ток в цепи есть: (положения 22, 24, 30, 32)
PC∙A=0,1008+0,0432+0,0672+0,0288=0,24
PCA=P(C∙A)P(A)=0,240,3808≈0,6303
Ответ:
PA=0,3808 PAB=0,648 PCA=0,6303
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
