Убедиться что векторы a b c образуют базис

Для того, чтобы три вектора могли образовывать базис пространства , необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы. Это значит, определитель, столбцами которого являются координаты векторов системы, должен быть отличен от нуля.
Вычислим определитель системы.
∆=1-21-203143=1·0·3+-2·3·1+1·-2·4-1·0·1-1·3·4-
-(-2)·(-2)·3=0-6-8-0-12-12=-38≠0.
Вывод: векторы , , линейно независимы и образуют базис в .
Разложение вектора по базису , , в векторной форме имеет вид:
,
где х1, х2, х3 – искомые координаты вектора в данном базисе.
В координатной форме это разложение имеет вид:
5;-1;1=x11;-2;1+x2-2;0;4+x31;3;3
Или 5;-1;1=x1-2x2+x3;-2x1+3x3;x1+4x2+3x3.
В левой и правой частях полученного равенства стоят два вектора . Они равны и поэтому равны их одноименные координаты. Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
x1-2x2+x3=5-2x1+3x3=-1x1+4x2+3x3=1.
Систему решаем по формулам Крамера