Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

1. Анализ механизма
Механизм состоит из груза 1 и дисков 2 и 3. Диски плотно скреплены и образуют единый корпус, иначе бы у системы было две степени свободы. Они соединены невесомыми и нерастяжимыми канатами. На конец каната слева приложена сила F под углом β к горизонту (см. рис.1). Система движется в вертикальной плоскости. тело 1 совершает поступательное движение по вертикали, тела 2 и 3 вращаются вокруг неподвижной оси, проходящей через их общий центр, перпендикулярно дискам. Точка A приложения силы F также движется поступательно и прямолинейно.
Система движется так, что тело 1 спускается вниз (диски 2 и 3 вращаются по часовой стрелке). Действительно, суммарный момент сил, действующих на диски относительно оси Cz направлен по движению стрелки часов:
M=FR2-m1gR3+m2g∙0+m3g∙0=400∙r-50∙9,81∙2r=-581r
M<0.
2. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы:
T=T1+T2+T3.
T1=m1v122.
Кинетические энергии тел 2 и 3, которые совершают только вращение:
T2=12JC2ω2;
T3=12JC3ω2
Здесь JC2 и JC3- моменты инерций дисков 2 и 3 соответственно, относительно оси вращения; ω- угловая скорость дисков.
Кинетическая энергия системы
T=T1+T2+T3=m1v122+12JC2ω2+12JC3ω2.
По условию, тела 2 и 3 однородные цилиндры, поэтому
JC2=m2R222=m2r22
JC3=m3R322=2m3r2.
Кинетическая энергия системы
T=m1v122+12∙m2r22ω2+12∙2m3r2ω2=m1v122+m2r24ω2+m3r2ω2.
-2286038101
Рисунок 1.
ω
C
A
vA
C1
3
2
R3
v1
B
vB
vD
R
D
β
E
vE
G2
G3
G1
R2
F
001
Рисунок 1.
ω
C
A
vA
C1
3
2
R3
v1
B
vB
vD
R
D
β
E
vE
G2
G3
G1
R2
F
Скорости v1 и vA выражаем через ω.
По причине идеальных связей
v1=vE=ωR3=2rω . (1)
vA=vB=ωR2=rω. (2)
Кинетическая энергия системы выражается через ω:
T=m1v122+m2r24ω2+m3r2ω2=2m1r2ω2+m2r24ω2+m3r2ω2=
=2m1+5m24+m3r2ω2=2∙50+5∙504+90∙0,352ω2=30,93ω2.
T=30,93ω2