Тема: Электростатика.
Формулировка задания.
На рис. 3.2 приведена система заряженных коаксиальных длинных цилиндров. Радиусы цилиндров R1= 17 см, R2 = 27 см, R3 = 37 см, R4 = 47 см. Линейные плотности зарядов на цилиндрах приведены в таблице 3.2
1). Постройте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндров.
2). Определите разность потенциалов между внутренним и внешним цилиндрами.
Значения параметров по вариантам.
Таблица 3.2
Дано: R1=17 см=0,17 м; R2=27 см=0,27 м
R3=37 см=0,37 м; R4=47 см=0,47 м
τ1=20 нКлм=2⋅10-8 Клм; τ2=0
τ3=-10 нКлм=-10-8 Клм; τ4=-10 нКлм=-10-8 Клм
Найти: Er, φ1-φ4
Решение
Для определения напряжённости электрического поля используем теорему Остроградского-Гаусса:
SEndS=1ε0i=1nQi
Из соображений симметрии следует, что линии напряжённости будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндров во все стороны относительно оси цилиндров. Построим мысленно коаксиальный с заряженными цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора E сквозь торцы цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряжённости). Поток вектора E сквозь боковую поверхность равен 2πrlE. По теореме Гаусса при r>R имеем 2πrlE=τlε0, откуда
E=τ2πε0r(1)
Рис
. 1
1) Внутри области 1 (r<R1) отсутствуют электрические заряды, следовательно, напряжённость электрического поля в этой области E1=0.
2) В области 2 R1≤r<R2 внутрь поверхности попадает заряд малого цилиндра. По формуле (1) при R1≤r<R2 имеем
E2=τ12πε0r
E2R1=τ12πε0R1=2⋅10-82⋅3,14⋅8,85∙10-12⋅0,17=2,12⋅103 Вм=2,12 кВм
E2R2=τ12πε0R2=2⋅10-82⋅3,14⋅8,85∙10-12⋅0,27=1,33⋅103 Вм=1,33 кВм
3) В области 3 R2≤r≤R3 внутрь поверхности попадают заряды двух внутренних цилиндров. По формуле (1) в этой области имеем
E3=τ1+τ22πε0r
E3R2=τ1+τ22πε0R2=2⋅10-8+02⋅3,14⋅8,85∙10-12⋅0,27=1,33⋅103 Вм=1,33 кВм
E3R3=τ1+τ22πε0R3=2⋅10-8+02⋅3,14⋅8,85∙10-12⋅0,37=0,97⋅103 Вм=0,97 кВм
4) В области 4 R3≤r≤R4 внутрь поверхности попадают заряды трёх внутренних цилиндров